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摘 要：以物理方法推导并归纳了有关阿氏圆的数学结论以及和两个不等量异号点电荷电场中电势为０的等势面有关的物理结论，用两个结论来解答有关的物理疑难问题．
关键词：阿氏圆；点电荷；等势面；球面
在平面内到两个定点的距离之比为不等于１的常数的点的轨迹是圆，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．可以证明，在空间到两个定点的距离之比为定值（不等于１）的点的集合是球面；位于空间的两个异号点电荷产生的电场中电势为０的等势面是球面．
1. 结论归纳
如图1所示，有两个异种点电荷，其电量绝对值之比为n，二者间距为d，在它们产生的电场中电势为0的等势面为一球面．以电量的绝对值较小的电荷所在位置为坐标原点，建立空间直角坐标系，在等势面上取一点P(x，y，z)，则-q与nq在点P(x，y，z)的电势叠加为0，根据点电荷电势公式
物理结论：在两个不等量异号点电荷电场中的等势面是一个球面．两个点电荷到球面的距离之比等于电荷量的绝对值之比；两个点电荷到球心的距离之积等于球面半径的平方．
2 结论应用
2．1 两个异号点电荷电场中的等势面
这种等势面是一个球面，表面各点处的场强垂直于球面．
2．3两个异号点电荷电场中的同向场强面
若两个电荷量的绝对值不相等的点电荷在空间各处产生电场的合场强矢量方向相同且平行于两个点电荷的连线，则满足该条件的空间各点构成一个球面．
解析：当金属球壳达到静电平衡时，球壳是一个等势体，内部场强处处为0，即球壳上的感应电荷在球壳内任一点所产生的场强与两个点电荷A、B在该点产生的合场强大小相等，方向相反，因此，对于判断金属球上的感应电荷在球内各点产生的场强是否都相等或都不相等，就是判断两个点电荷A、B在球壳内产生的合场强是否处处相等或者都不相等．由于不是匀强电场，因此在球壳内的合场强不可能处处相等．
判断两个点电荷A、B在球壳内产生的合场强是否处处都不相等，就是判断内部是否有存在合场强相等的特殊点．假设在球壳内部有两点C、D处的场强相等，根据电场线的对称性，直线AB是对称轴，先考虑平面图，则这两点关于直线AB对称，而场强E的方向只能与直线AB平行，如图７所示．
由于圆上各点处的合场强都平行于直线AB，因此只要两个圆相交，就存在两个对称点处的合场强大小相等，方向相同．两个圆有交点的条件是金属壳半径狉满足r＞ON，即
此时球壳内C、D两点处的场强相等．即在圆弧虚线上关于直线AB对称的两点的场强相等．因此，在这种情况下，金属球上的感应电荷在球内各点产生的场强不都相等．
此时球壳内C、D两点处的场强相等．即在圆弧虚线上关于直线AB对称的两点的场强相等．因此，在这种情况下，金属球上的感应电荷在球内各点产生的场强不都相等．
当金属球半径
两个圆不相交，即A、B两点电荷产生电场的合场强在球壳内没有相等的点，所以，在这种情况下，金属球上的感应电荷在球壳内任一点所产生的场强都不相等．
对于上述疑难物理问题的解答，关键是先推导出结论，然后利用结论进行解答，这种分步解答问题的方法，简便快捷．同时，凸显了数学知识的重要性，体现了物理与数学密切相关，即利用物理知识推导数学结论，形象直观；反之，利用数学结论解答物理问题，巧妙快捷．
作者：郑 金 （凌源市职教中心，辽宁朝阳 122500）
该文摘自《物理教师》2017年第三期
运营老师：李仲旭
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