三角形的中位线证明一直是初中几何性质定理证明的难点,既要证明数量关系,又要证明位置关系。而证明突破口就在于能否根据中点添加相应的辅助线,证明的方法虽然多,但是万变不离其宗,都是围绕中点的性质进行展开。

三角形中位线变换解题技巧(三角形中位线的证明及其简单应用)(1)

背景条件:在三角形ABC中,D、E分别为AB、AC的中点,联结DE。试探索DE与BC的数量关系与位置关系。

一、倍长中线添加辅助线

证法1(图1)和证法2(图2)借鉴了教材引入中的剪拼法,利用中点的对称性添加辅助线,得到全等三角形,通过全等三角形及平行四边形性质,得到DE与BC的数量关系及位置关系。

三角形中位线变换解题技巧(三角形中位线的证明及其简单应用)(2)

二、利用中点,构造平行四边形

证法3(图3)和证法4(图4),通过添加平行线,利用中点构造平行四边形,再根据全等三角形性质和平行四边形的判定和性质,得到DE和BC的数量关系和位置关系。

三角形中位线变换解题技巧(三角形中位线的证明及其简单应用)(3)

三、利用面积法证明

三角形中位线变换解题技巧(三角形中位线的证明及其简单应用)(4)

四、利用向量法证明

三角形中位线变换解题技巧(三角形中位线的证明及其简单应用)(5)

*五、利用比例线段证明

三角形中位线变换解题技巧(三角形中位线的证明及其简单应用)(6)

三角形中位线定理证明微课:

三角形中位线变换解题技巧(三角形中位线的证明及其简单应用)(7)

三角形中位线变换解题技巧(三角形中位线的证明及其简单应用)(8)

1、任意四边形(不论是凸四边形还是凹四边形)的中点四边形都是平行四边形。中点四边形的两组对边平行且等于其中一条对角线的一半,因而构成了平行四边形,充分利用了三角形的中位线定理。

三角形中位线变换解题技巧(三角形中位线的证明及其简单应用)(9)

2、对角线相等的四边形,围成的中点四边形是菱形对角线互相垂直的四边形,围成的中点四边形是矩形对角线互相垂直且相等的四边形,围成的中点四边形是正方形

3、任意四边形的中点四边形的周长等于原四边形对角线的和

4、任意四边形的中点四边形的面积等于原四边形面积的一半

三角形中位线变换解题技巧(三角形中位线的证明及其简单应用)(10)

三角形中位线变换解题技巧(三角形中位线的证明及其简单应用)(11)

方法点睛:看到中点,我们的添线思路是倍长中线或者构造中位线。但是发现求证的结果都与“构造等腰三角形”相关,因此可以做第三边的中点,利用中位线的性质定理得到结论。

三角形中位线变换解题技巧(三角形中位线的证明及其简单应用)(12)

三角形中位线变换解题技巧(三角形中位线的证明及其简单应用)(13)

三角形中位线变换解题技巧(三角形中位线的证明及其简单应用)(14)

三角形中位线变换解题技巧(三角形中位线的证明及其简单应用)(15)

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