向心加速度的推导最简公式（向心加速度公式理解）

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题组一　对向心加速度及其公式的理解

1．如图所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在光滑水平面内做匀速圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向，下列图中可能的是( )

2．关于匀速圆周运动，下列说法正确的是( )

A．由an＝可知，an与r成反比

B．由an＝ω2r可知，an与r成正比

C．由v＝ωr可知，ω与r成反比

D．由ω＝2πn可知，ω与n成正比

3.如图1所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么( )

A．加速度为零

B．加速度恒定

C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心

D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心

4．物体做半径为R的匀速圆周运动，它的向心加速度、角速度、线速度和周期分别为a、ω、v和T，则下列关系式正确的是( )

A．ω＝ B．v＝aR

C．a＝ωv D．T＝2π

题组二　向心加速度公式的有关计算

5．一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，则下列说法错误的是( )

A．角速度为0.5 rad/s B．转速为0.5 r/s

C．轨迹半径为 m D．加速度大小为4π m/s2

6.如图2所示，一小物块以大小为a＝4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R＝1 m，则下列说法正确的是( )

A．小物块运动的角速度为2 rad/s

B．小物块做圆周运动的周期为π s

C．小物块在t＝ s内通过的位移大小为 m

D．小物块在π s内通过的路程为零

7．a、b两辆玩具车在各自的圆轨道上做匀速圆周运动，在相同的时间内，它们通过的路程之比为3∶4，转过的角度之比为2∶3，则它们的向心加速度大小之比为( )

A．2∶1 B．1∶2 C．9∶16 D．4∶9

8．如图3所示，一半径为R的球体绕轴O1O2以角速度ω匀速转动，A、B为球体上两点．下列说法中正确的是( )

A．A、B两点具有相同的角速度

B．A、B两点具有相同的线速度

C．A、B两点具有相同的向心加速度

D．A、B两点的向心加速度方向都指向球心

9.如图4所示，两轮压紧，通过摩擦传动(不打滑)，已知大轮半径是小轮半径的2倍，E为大轮半径的中点，C、D分别是大轮和小轮边缘的一点，则E、C、D三点向心加速度大小关系正确的是( )

A．anC＝anD＝2anE B．anC＝2anD＝2anE

C．anC＝＝2anE D．anC＝＝anE

10．如图5所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是边缘上的一点，左轮上的两轮共用同一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中皮带不打滑，则( )

A．a点和b点的线速度大小相等

B．a点和b点的角速度相等

C．a点和c点的线速度大小相等

D．a点和d点的向心加速度的大小相等

题组三　综合应用

11.如图6所示，压路机大轮的半径R是小轮半径r的2倍，压路机匀速行驶时，大轮边缘上A点的向心加速度为0.12 m/s2，那么小轮边缘上B点的向心加速度为多大？大轮上距轴心的距离为的C点的向心加速度为多大？

图6

12.Maloof Money Cup是全球最大的滑板赛事，于2011年9月在南非举行．如图7所示，某滑板运动员恰好从B点进入半径为2 m的圆弧轨道，该圆弧轨道在C点与水平轨道相接，运动员滑到C点时的速度大小为10 m/s，求他到达C点前、后的瞬时加速度(不计各种阻力)．

13.如图8所示，甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动，甲沿顺时针方向做匀速圆周运动，圆半径为R；乙做自由落体运动，当乙下落至A点时，甲恰好第一次运动到最高点B，求甲物体做匀速圆周运动的向心加速度的大小．(已知重力加速度为g)

答案精析

1．B　[做匀速圆周运动的物体的加速度就是向心加速度，其方向指向圆心，B正确．]

2．D　[物体做匀速圆周运动的向心加速度与物体的线速度、角速度、半径有关．但向心加速度与半径的关系要在一定前提条件下才能成立．当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比．对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论．正确选项为D.]

3．D　[由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误．]

4．CD　[由a＝Rω2，v＝Rω可得ω＝ ，v＝，a＝ωv，即A、B错误，C正确；又由T＝与ω＝ 得T＝2π，即D正确．]

5．A　[角速度为ω＝＝π rad/s，A错误；转速为n＝＝0.5 r/s，B正确；半径r＝＝ m，C正确；向心加速度大小为an＝＝4π m/s2，D正确．]

6．AB　[因为a＝ω2R，所以小物块运动的角速度为ω＝＝2 rad/s，周期T＝＝π s，选项A、B正确；小物块在 s内转过，通过的位移为 m，在π s内转过一周，通过的路程为2π m，选项C、D错误．]

7．B　[a、b两玩具车的线速度之比va∶vb＝sa∶sb＝3∶4，角速度之比ωa∶ωb＝θa∶θb＝2∶3，故它们的向心加速度之比aa∶ab＝vaωa∶vbωb＝1∶2，B正确．]

8．A　[A、B两点随球体一起绕轴O1O2转动，转一周所用的时间相等，故角速度相等，有ωA＝ωB＝ω，选项A正确．A点做圆周运动的平面与轴O1O2垂直，交点为圆心，故A点做圆周运动的半径为rA＝Rsin 60°；同理，B点做圆周运动的半径为rB＝Rsin 30°，所以A、B两点的线速度分别为：vA＝rAω＝Rω，vB＝rBω＝Rω，显然vA>vB，选项B错误．A、B两点的向心加速度分别为：aA＝rAω2＝Rω2，aB＝rBω2＝Rω2，显然，A、B两点的向心加速度不相等，且它们的向心加速度方向指向各自平面的圆心，并不指向球心，故选项C、D错误．]

9．C　[同轴转动，C、E两点的角速度相等，由an＝ω2r，有＝2，即anC＝2anE；两轮边缘点的线速度大小相等，由an＝，有＝，即anC＝anD，故选C.]

10．CD　[由题意可知，b、c、d是固定在同一轮轴的两轮上的点，因此ωb＝ωc＝ωd，a、c为用皮带连接的两轮边缘上的点，皮带不打滑时有va＝vc，故选项C正确；由角速度与线速度的关系v＝ωr并结合题中所给各点的半径，易得ωa＝2ωc＝2ωb＝2ωd及va＝2vb，由此排除A、B两选项；由向心加速度an＝ω2r可推得ana＝and，则选项D正确．]

11．0.24 m/s2　0.04 m/s2

解析　压路机匀速行驶时，vB＝vA，

由an＝，得＝＝2

得aB＝2aA＝0.24 m/s2

又ωA＝ωC，由an＝ω2r，得＝＝

得aC＝aA＝0.04 m/s2.

12．50 m/s2，方向竖直向上　0

解析　运动员经圆弧滑到C点前做圆周运动．因为不计各种阻力，故经过C点之前的瞬间，运动员只在竖直方向上受力，只有向心加速度．由an＝得运动员到达C点前的瞬时加速度a1＝ m/s2＝50 m/s2，方向竖直向上．运动员滑过C点后，进入水平轨道做匀速直线运动，故加速度a2＝0.

13.π2g

解析　设乙下落到A点所用时间为t，

则对乙，满足R＝gt2，得t＝ ，

这段时间内甲运动了T，即T＝ ①

又由于a＝Rω2＝R②

由①②得，a＝π2g.

,