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题组一 对向心加速度及其公式的理解

1.如图所示,细绳的一端固定,另一端系一小球,让小球在光滑水平面内做匀速圆周运动,关于小球运动到P点时的加速度方向,下列图中可能的是( )

向心加速度的推导最简公式(向心加速度公式理解)(1)

2.关于匀速圆周运动,下列说法正确的是( )

A.由an=可知,an与r成反比

B.由an=ω2r可知,an与r成正比

C.由v=ωr可知,ω与r成反比

D.由ω=2πn可知,ω与n成正比

3.如图1所示,质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中,如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变,那么( )

向心加速度的推导最简公式(向心加速度公式理解)(2)

A.加速度为零

B.加速度恒定

C.加速度大小不变,方向时刻改变,但不一定指向圆心

D.加速度大小不变,方向时刻指向圆心

4.物体做半径为R的匀速圆周运动,它的向心加速度、角速度、线速度和周期分别为a、ω、v和T,则下列关系式正确的是( )

A.ω= B.v=aR

C.a=ωv D.T=2π

题组二 向心加速度公式的有关计算

5.一质点做匀速圆周运动,其线速度大小为4 m/s,转动周期为2 s,则下列说法错误的是( )

A.角速度为0.5 rad/s B.转速为0.5 r/s

C.轨迹半径为 m D.加速度大小为4π m/s2

6.如图2所示,一小物块以大小为a=4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动,半径R=1 m,则下列说法正确的是( )

向心加速度的推导最简公式(向心加速度公式理解)(3)

A.小物块运动的角速度为2 rad/s

B.小物块做圆周运动的周期为π s

C.小物块在t= s内通过的位移大小为 m

D.小物块在π s内通过的路程为零

7.a、b两辆玩具车在各自的圆轨道上做匀速圆周运动,在相同的时间内,它们通过的路程之比为3∶4,转过的角度之比为2∶3,则它们的向心加速度大小之比为( )

A.2∶1 B.1∶2 C.9∶16 D.4∶9

8.如图3所示,一半径为R的球体绕轴O1O2以角速度ω匀速转动,A、B为球体上两点.下列说法中正确的是( )

向心加速度的推导最简公式(向心加速度公式理解)(4)

A.A、B两点具有相同的角速度

B.A、B两点具有相同的线速度

C.A、B两点具有相同的向心加速度

D.A、B两点的向心加速度方向都指向球心

9.如图4所示,两轮压紧,通过摩擦传动(不打滑),已知大轮半径是小轮半径的2倍,E为大轮半径的中点,C、D分别是大轮和小轮边缘的一点,则E、C、D三点向心加速度大小关系正确的是( )

向心加速度的推导最简公式(向心加速度公式理解)(5)

A.anC=anD=2anE B.anC=2anD=2anE

C.anC==2anE D.anC==anE

10.如图5所示为一皮带传动装置,右轮的半径为r,a是边缘上的一点,左轮上的两轮共用同一轮轴,大轮的半径为4r,小轮的半径为2r,b点在小轮上,到小轮中心的距离为r,c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上,若在传动过程中皮带不打滑,则( )

向心加速度的推导最简公式(向心加速度公式理解)(6)

A.a点和b点的线速度大小相等

B.a点和b点的角速度相等

C.a点和c点的线速度大小相等

D.a点和d点的向心加速度的大小相等

题组三 综合应用

11.如图6所示,压路机大轮的半径R是小轮半径r的2倍,压路机匀速行驶时,大轮边缘上A点的向心加速度为0.12 m/s2,那么小轮边缘上B点的向心加速度为多大?大轮上距轴心的距离为的C点的向心加速度为多大?

向心加速度的推导最简公式(向心加速度公式理解)(7)

图6

12.Maloof Money Cup是全球最大的滑板赛事,于2011年9月在南非举行.如图7所示,某滑板运动员恰好从B点进入半径为2 m的圆弧轨道,该圆弧轨道在C点与水平轨道相接,运动员滑到C点时的速度大小为10 m/s,求他到达C点前、后的瞬时加速度(不计各种阻力).

向心加速度的推导最简公式(向心加速度公式理解)(8)

13.如图8所示,甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动,甲沿顺时针方向做匀速圆周运动,圆半径为R;乙做自由落体运动,当乙下落至A点时,甲恰好第一次运动到最高点B,求甲物体做匀速圆周运动的向心加速度的大小.(已知重力加速度为g)

向心加速度的推导最简公式(向心加速度公式理解)(9)

答案精析

1.B [做匀速圆周运动的物体的加速度就是向心加速度,其方向指向圆心,B正确.]

2.D [物体做匀速圆周运动的向心加速度与物体的线速度、角速度、半径有关.但向心加速度与半径的关系要在一定前提条件下才能成立.当线速度一定时,向心加速度与半径成反比;当角速度一定时,向心加速度与半径成正比.对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论.正确选项为D.]

3.D [由题意知,木块做匀速圆周运动,木块的加速度大小不变,方向时刻指向圆心,D正确,A、B、C错误.]

4.CD [由a=Rω2,v=Rω可得ω= ,v=,a=ωv,即A、B错误,C正确;又由T=与ω= 得T=2π,即D正确.]

5.A [角速度为ω==π rad/s,A错误;转速为n==0.5 r/s,B正确;半径r== m,C正确;向心加速度大小为an==4π m/s2,D正确.]

6.AB [因为a=ω2R,所以小物块运动的角速度为ω==2 rad/s,周期T==π s,选项A、B正确;小物块在 s内转过,通过的位移为 m,在π s内转过一周,通过的路程为2π m,选项C、D错误.]

7.B [a、b两玩具车的线速度之比va∶vb=sa∶sb=3∶4,角速度之比ωa∶ωb=θa∶θb=2∶3,故它们的向心加速度之比aa∶ab=vaωa∶vbωb=1∶2,B正确.]

8.A [A、B两点随球体一起绕轴O1O2转动,转一周所用的时间相等,故角速度相等,有ωA=ωB=ω,选项A正确.A点做圆周运动的平面与轴O1O2垂直,交点为圆心,故A点做圆周运动的半径为rA=Rsin 60°;同理,B点做圆周运动的半径为rB=Rsin 30°,所以A、B两点的线速度分别为:vA=rAω=Rω,vB=rBω=Rω,显然vA>vB,选项B错误.A、B两点的向心加速度分别为:aA=rAω2=Rω2,aB=rBω2=Rω2,显然,A、B两点的向心加速度不相等,且它们的向心加速度方向指向各自平面的圆心,并不指向球心,故选项C、D错误.]

9.C [同轴转动,C、E两点的角速度相等,由an=ω2r,有=2,即anC=2anE;两轮边缘点的线速度大小相等,由an=,有=,即anC=anD,故选C.]

10.CD [由题意可知,b、c、d是固定在同一轮轴的两轮上的点,因此ωb=ωc=ωd,a、c为用皮带连接的两轮边缘上的点,皮带不打滑时有va=vc,故选项C正确;由角速度与线速度的关系v=ωr并结合题中所给各点的半径,易得ωa=2ωc=2ωb=2ωd及va=2vb,由此排除A、B两选项;由向心加速度an=ω2r可推得ana=and,则选项D正确.]

11.0.24 m/s2 0.04 m/s2

解析 压路机匀速行驶时,vB=vA,

由an=,得==2

得aB=2aA=0.24 m/s2

又ωA=ωC,由an=ω2r,得==

得aC=aA=0.04 m/s2.

12.50 m/s2,方向竖直向上 0

解析 运动员经圆弧滑到C点前做圆周运动.因为不计各种阻力,故经过C点之前的瞬间,运动员只在竖直方向上受力,只有向心加速度.由an=得运动员到达C点前的瞬时加速度a1= m/s2=50 m/s2,方向竖直向上.运动员滑过C点后,进入水平轨道做匀速直线运动,故加速度a2=0.

13.π2g

解析 设乙下落到A点所用时间为t,

则对乙,满足R=gt2,得t= ,

这段时间内甲运动了T,即T= ①

又由于a=Rω2=R②

由①②得,a=π2g.

,