作者 | trustno1
来源 | 知乎，好玩的数学获作者授权转载
从小学正式教学加乘混合运算开始，我们就开始接触数列。较之于方程这类机械性的技术而言，数列的学习曲线陡峭异常。无论是求解通项还是求和，往往都要求学生综合、归纳，配项，消元等数学技巧。很多技巧在初学者看来，都是神来之笔，与方程这类有明确步骤的数学问题相比，他们的产生显得无迹可寻，应用则存乎一心。
我们以最简单的等差数列为例
一般而言 相对容易求得，因为 实际上是一个与 呈现线性相关的关系。1 加上 1 等于 2，2 加 1 等于 3，这样线性增长特性，是每个学习数学的人首要熟悉的数学概念，因此与之相似的线性增长的性质，只要经过粗略的归纳和整理就不难发现规律。然而当我们试图去归纳 时，就会撞上一个不小的门槛。我们现在知道
这个结果显然含有一个平方项，也就是说 是随着 进行非线性增长的，试图通过简单的类比自然数线性关系进行数学归纳就行不通了。
对于等差数列的求和的教学，我们通常是遵循着高斯传奇小故事，引入首项加末项的方法
这种方法缺点在于，需要按照奇偶项数进行分类讨论，奇数情况下还需要处理中项问题。当然对于这一缺陷，还可以进行如下改进
然而无论那这种方法。对初学者而言，并没有实质性的帮助。因为这类方法本质上利用了等差数列的在大范围内的加性对称。虽然引入数学史可以带来某些趣味性，但是这些趣味性并没有帮助初学者在实际生活体验中找到可以类比的对称性经验。这种数学特性的发现过程是怎么样的，这些方法有没有可操作性的步骤和建议，这些都是不明确的。最终初学者只能将这种结果归结于聪明数学家的某次灵光一闪，然后以背诵公式的方式被迫承认这些结果。
无论是小学还是大学，这种困扰始终潜伏在绝大多数学的教习过程之中。这是因为，当代学校教材中的数学内容，基本上是经过 17 世纪以后的数学家们不断修订整理的结果。这类教材的好处是严密化简洁化，但是这些教材也把大量的前人探索性质的内容抹除了。这就好比是一栋大楼建成以后将所有的脚手架拆除。我们往往看到的是平地起高楼的奇迹，而看不到前人在各种原始基础问题上不断尝试的策略和方法，而这些方法恰恰对数学初学者而言是更有启发意义的。
事实上，如果我们更多的挖掘数学史的发展脉络，而不是局限于小高斯这类的传奇故事，我们会发现，绝大多数时间里数学家对数学问题的探讨，都是从直观朴素的想法出发进行尝试总结不断迭代方法，这一过程与我们普通人学习数学的过程没有本质上的区别。在数学史上绝少有灵光一闪的高光时刻，更多的是十年如一日的再各种可能性的路径上反复尝试推演。
历史上数学家对等差数列的关注由来已久，在中国历史上对等差数列及其衍生问题的研究是以“如像招数”为中心的。“如像招数”是元代数学家朱世杰的著作《四元玉鉴》的第三章，第十问，在这部著作中朱世杰将中国传统的等差数列推向了最高峰。所谓“如像招数”的“像”指的是图形，顾名思义中国古代的数学家对于等差数列及其衍生问题的研究，并不是以代数方式直接切入以几何图形切入来解决复杂的代数问题。
古代数学家们之所以以这种方式来研究等差数列问题，我个人认为最主要原因在于，人对于几何形状上的对称性要比代数形式上的抽象形式的对称性来的更为敏感和熟悉。我们的人体本身就是一个以躯干为对称轴的对称几何体，我们有左手也有右手，我们有左脚对称的也有右脚。我们日常生活中经常借助这种几何对称性来解决实际问题，比如说我们去鞋店试鞋，要试出合适的鞋子，一般而言我们都不会每次两只脚都去试穿，而往往试穿一只脚。当我们试验到一只鞋子非常合适左脚的后，那么右脚的鞋子也会大概率的合脚。这样利用对称性我们就节省了很多时间。因此代数问题化为几何问题的根本目的就是希望能以这种日常的直观几何对称性经验来归纳数学规律。
我们将等差数列以如下的点阵图形，看看古代数学家是如何进行“如像招数”的。
我们可以看到，整个点阵图形构成了一个直角三角形。直角三角形往往以一个矩形的一半出现在我们的日常生活中。于是我们可以非常自然的想到，如果把这个点阵颠倒 180 度，两者正好能拼接成一个矩形。于是我们就有了上述第二种求和方式
当然朱世杰对“如像招数”的应用，并不仅仅停留在等差数列这样初级的问题上。他我们来看一下，这样一个问题。求下列数列的通项公式
通过一些简单的归纳很容易可以看到，这个数列有下面这样一些规律
相邻两个项之间差值构成了一个新的等差数列 ，我们将这类数列称为二阶等差数列。由于 中都含有一个 中的差项，于是我们可以很自然的想到 累加起来就可以将中间的所有 项抵消掉
做一个简单的移项就可以发现二阶等差数列的通项公式 。二阶等差数列的差项构成的一阶等差数列之和，根据我们我们上面利用“如像招数”的分析结果，就很容易得到
当我们得到二阶等差数列的通项公式 之后，我们很自然的就会想知道，二阶等差数列的前 n 项和是多少即需求
比之一阶等差数列，这个求和在代数上的规律性则更为隐蔽，连加性对称都不存在了。面对这个难题，以朱世杰为代表的中国数学家依然从“如像招数”的角度来解决他。
我们观察到 ，这个通项公式与矩形的面积公式一致，于是我们可以假想数列的每一项对应着一个长为 宽为 的矩形，按照如下图形进行排布。
虽然，这样一个几何排布同样看不出一些明显的对称性特征，然而我们依然可以很自然的发现，如果我们将这个几何图形按照，右边的俄罗斯方块一样的阶梯形进行补齐，那么可以得到一个完整的矩形。而这个“俄罗斯方块”的每一列的方块数，实际上就是左边每一个矩形的宽的累加和。于是我们继续利用”如像招数“的结果将二阶等差数列的求和做如下的变形我们令大矩形的面积为 ，补充图形的面积为 ，那么两者有如下关系式
那么我们先来处理 。通过简单的归纳可知，其长为 1 2 ... n, 其宽为 n 1，于是有
对于 , 由于堆叠 n 层时它只会残缺 n-1 列，于是我们有
它的每一项都是一个一阶等差数列的和，于是我们有
显然它等于 的前一项的两分之一。于是将上面三个结果连立起来我们就有
通过对二阶等差数列的通项公式及其求和公式的探讨。我们自然就会想到，我们是否还是可以依葫芦画瓢，采用如像招数的办法来解决，三阶以上的等差数列呢？答案是可以但是并不实用。原因在于，我们会发现从现实世界中越来越难找到与高阶乘法的对应的几何体，即便是找的到，对于他们的分析和归纳也会比平面图形来的更为困难。比如说三阶等差数列自然的对应几何体就是长方体体积，但是三维立体几何要比二维平面几何复杂很多。
我们以《四元玉鉴》如像招数一章中的第五问平方招兵问题为例
问曰：今有官司，依平方招兵。初段方面四尺，次日方面轉多二尺，每人日給銀一兩二錢。已招兵四千九百五十六人，支銀二萬六千四十兩。問招來幾日？
答曰：一十四日。
術曰：立天元一為三角底子，如積求之。得七千三百五十六為益實，七十三為從方，二十一為從廉，二為從隅，立方開之，得三角底子一十二個。加二，即日數。
题目的意思是，现在官府要按照一个队列方阵的数额来招募士兵，初始方阵的边长为 4 尺，然后每天方阵边长增长两尺，每个士兵军饷 1 两 2 钱白银，已经招募了 4956 人，使用银两为 26040 两，问官府总招兵总共持续了几日？
这实际上是一个已知平方数列的和求项数的问题，即要求满足下式的 n 数目
朱世杰将这个问题，首先转化一系列底面为正方形的长方体的堆垛如下图。然后对这个几何堆垛进行分割，分割成，从方，从廉，从隅；从方较好理解，就是下图左边的这个核心长方体，对应的是 0 阶等差数列即常数数列；廉隅是中国古代立体几何的惯用术语，大约相当于我们现在所说的棱和角。所谓的从廉，就是中图中这块像围裙一样的围边，等价于一批 1 阶等价数列之和；从隅就是最后右图被切下的角，这是一个基本的 2 阶等价数列。
朱世杰对于高阶数列求和问题采用的是归纳-降解-组合的方案，首先对于一阶，二阶，三阶等基本简单的等差数列。朱世杰通过“如像招数”的方法将他们转化为二维、三维的堆垛利用几何对称等特性归纳整理出基本的低阶垛积公式，朱世杰称之为“垛积术”。对于复杂的复合数列，的则将其转化为化为立方堆垛问题，对立方堆垛进行逐级的差项来将复杂垛积化为更为简单基本的低阶垛积的组合，这种方法朱世杰称之为”招差术“。
我们知道，一个数学系统呈现出可组合还原性质的前提是这个系统中存在可逆运算或者可逆转换。举一个简单例子，当我们站在太阳地下，阳光照射我们的上在地面形成一个脑袋的影子，这种射影转换就不存在可逆运算，因为在形成影子的过程中已经丢掉了很多信息比如你的眼睛有多大，鼻子有多长，留在地面上的只有一个外脸轮廓的信息，因此无论我们收集多少个不同种类的影子，最终都不可能拼接还原出一张完整的人脸。
垛积术与招差术之间可以自由拆解组合的特性源自于高低阶等差数列可以进行互逆运算，我们再回过头去审视一下，二阶等差数列的通项公式和求和公式。
我们会发现，高阶等差数列有一个非常明显的规律。二阶等差数列的通项是由逐项作差项后的一阶等差求和而来。而二阶等差数列的自身求和它对应的三阶等差数列的 1/3。于是我们可以进一步猜测，高阶和低阶等差数列之间存在着这样的互逆过程
也即是说，等式的左边告诉我们，如果我们已经通过通项公式，也就知道了数列的阶数，那么我们可以通过更高一阶的通项公式来求低阶数列的和。而等式右边告诉我们，当我们发现数列差项呈现低阶等差规律时，我们可以利用低阶数列等差求和来推演高阶数列的通项公式；这种可逆性是高阶等差数列中一系列神奇数学技巧的发端。以小学数学教学的传统难点-整数裂项为例
这里的整数裂项，实际上是将每个低阶项还原成高阶等差数列两项差，然后进行逐项抵消。但是从 1 式到 2 式存在着巨大的逻辑鸿沟——我们到底是如何从 1 式的三阶通项里观察出 2 式的？对于一个不了解“招差-垛积互逆“的初学者而言，这一问题无疑是为”天问“。当前主流数学教学中，对此的回答也只能是为了要进行 (3) 式中的逐项抵消而拼凑出来的。但是问题是我们又是如何想到要进行逐项抵消呢？这种解说基本上就陷入了一种到底是先有鸡还是先有蛋的逻辑怪圈。
如果我们从“招差-垛积互逆“的结果出发就很简单，因为通过已知条件我们已经知道 是一个三阶等差数列，可以很容易的得到 4 阶的通项公式 ，然后根据高低阶数列互逆公式有
简单观察即可得知，三阶等差数列的通项为，四阶等差数列差项的四分之一。即可得到上述（2）式的结果。
“如像招数”在三阶等差数列下需要非常艰深的立体几何直觉，它已经丧失了一阶二阶问题上所呈现出来的直观性和简便性。再继续推广至四阶和五阶的问题，如像招数已经行不通了，因为我们无法在现实生活中找到四维和五维的实体。
但朱世杰给出了四阶和五阶等差数列的成果。显然“如像招数”在朱世杰这里仅仅是敲开一阶到二阶和三阶的敲门砖。通过对这些初等结果的归纳整理，朱世杰总结出高低阶数列可逆转换的规律，进而在讨论更高阶数列问题上抛弃了初等的“如像招数”的方法转而利用新的数学工具。朴素初等方法-->初步结果-->相似性归纳-->新猜想-->新数学工具，这种循环往复的发展过程可以说是数学史发展的主基调。
那么朱世杰到底是用什么样的新工具来完成这一壮举的呢？回顾一下平方招兵问题的解法，可以看到“招差-垛积“的核心问题是对于 1 到 阶的基本堆垛的求解。而对于 阶等差数列一般性公式的求解，严格上讲需要用到数学归纳法。但是在朱世杰的时代，数学归纳法还没有诞生，因此他只能对高低阶数列转换的猜想做有限的不完全归纳。但是我们目前已经无法看到朱世杰具体的推演步骤。实际上，早于朱世杰的杨辉，就已经得到了二阶等差的结果，可惜的是，同样我们也无法知道杨辉是如何得到这个结果的。
这固然跟杨辉的著作散失有关，同时也与算筹的使用有直接的关系。与西方数学家那样长期依赖笔算不同的是，明代之前的中国数学家长期使用算筹推演数学问题。算筹大体上是如下图这样的摆放木棍，成语中所谓的运筹帷幄的“筹”即是指这种算筹木棍。
中国数学家会将需要演算数字，在桌上或者地上纵横排开，然后自左向右进行运算。由于算筹本身数量有限，于是为了最大化的复用算筹，所有已经运算完的小棍，比如说已经进位的部分，就会从桌上拿走用于从新计算，最终运算完毕时只会留下结果。而解题的过程很难被完整的保存下来。所以中国数学家更倾向于保留孤立的结果，而忽略过程。以至于在后世读者看来，中国古代的数学只重计算，而缺乏像欧几里得那样严密的逻辑推导。
但实际上并非如此，无论是南北朝时期刘徽的割圆术，还是元代朱世杰的招差垛积术，都不是仅仅依靠蛮力计算就可以获得的结果；而是在计算之前经过严密的逻辑论证，找到精巧漂亮的数学结论后方能完成的伟大计算。
当然毋庸置疑的是，这样的传统非常不利于数学知识的系统学习、传承、改进。到了清代，数学家们甚至已经无法看懂朱世杰的遗留下来的算法了。中国数学史上的由盛而衰历史也告诉我们，要通透的掌握数学这门知识，光凭借记忆零星的数学结果的知其然是远远不够的更最重要的是知其所以然。
现代数学家根据朱世杰的结果和中国古算的基本程序，大体重建了基本垛积的演算方法。为了方便读者的阅读，我们在这里以现代数字替代算筹作为演示。
首先我们将常数数列的算筹布列在最左边
根据公式 2，高阶数列的首项实际上是和低阶数列是共享的。于是我们可以首先将低阶数列的第一项 1 进行移项，从第一列第一行移动到第二列第一行。然后对每个常数数列的每个前 n 项进行逐次累加得到第二列算筹各项，进而得到一个一阶等差数列。
依次类推，朱世杰通过任意有限次的迭代可以得到任意高阶的垛积数列。
这时我们惊奇的发现，如果将这张表向右旋转 60 度，把左上角顶点 1 摆放到页面的中央，就得到了著名的杨辉三角
“招差-垛积“与“整数裂项”之间的差异，实际上远不止理解上的便宜程度的差别。“整数裂项”只是应付某种求和问题的孤立的特殊技巧；而当杨辉三角一字不差的出现在“招差-垛积“的算筹方阵中时，预示着它将与组合问题、二项式定理，高次开方、甚至微积分的有着千丝万缕的联系。
作者简介：Trustno1，出没于杭州上海的IT工程师，日常书虫一枚，游戏数学问题，翻拣历史资料。
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