本文通过定积分知识，分别以微元dx、dy计算曲线y1=1/x与直线y2=2x、x=e围成的面积的主要步骤过程。
方法一：微元dx计算区域面积此时画出曲线y1=1/x与直线y2=2x、x=e围成的区域示意图，先求曲线y1与直线y2的交点，即：
1/x=2x2x^2=1,取正数x1=√2/2。
此时面积定积分表示为：
S=∫[x1,x2](y2-y1)dx
=∫[√2/2,e](2x-1/x)dx
=x^2-lnx[√2/2,e]
=e^2-1-1/2-1/2*ln2
=e^2-1/2*ln2-3/2。
方法二：微元dy计算区域面积此时画出曲线y1=1/x与直线y2=2x、x=e围成的区域示意图，对以dy为微元计算面积时，总面积由三角形面积ABD和曲边形ADC的面积和,即S=Sabd Sadc。
同理联立曲线y1与直线y2，1/x=2x，
即2x^2=1,取正数x1=√2/2。则：
AB=x2-x1=e-√2/2,并对应求得纵坐标得：
y1=2*√2/2=√2,y2=2e，则：
BD=y2-y1=2e-√2，此时三角形ABC的面积为：
Sabd=(1/2)AB*BD
=(1/2)(e-√2/2)*(2e-√2)
=(1/2)(1-2√2e 2e^2).
当x=e时，y3=1/e,则：
Sadc=∫[y3,y1](e-1/y)dy
=(ey-lny)[1/e,√2]
=√2e-1/2*ln2-2,
此时S有：
S=Sabd Sadc
=(1/2)(1-2√2e 2e^2) √2e-1/2*ln2-2
=e^2-√2e 1/2 √2e-1/2*ln2-2
=e^2-1/2*ln2-3/2。
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