当-2<x<1时,求函数y=x(75 19x)的最小值


主要内容:

本文通过二次函数图像法、均值不等式法和函数导数法,介绍已知当-2<x<1时,求函数y=x(75 19x)的最小值的主要步骤。

当-2<x<1时二次函数y=-(x-m) 当-2x1时(1)

※.二次函数图像法

因为y=x(75 19x),所以y=75x 19x^2=19x^2 75x,

其对称轴x=b/2a=-75/2*19=-75/38∈(-2, 1),

该二次函数的开口向上,所以在对称轴处取得最小值,则:

ymin=f(-75/38)

=(-75/38)*(75-19*75/38)

=-5625/76.


※.均等不等式法

由不等式ab≤(a b)^2,a,b∈R 知:

y=x(75 19x)

=-(-x) (75 19x)

=-(1/19)*(-19x)*(75-19x)

因为(-19x)*(75-19x) ≤{[19x (75-19x)]/2}^2,

所以-(1/19)*(-19x)*(75-19x)≥-(1/19){[19x (75-19x)]/2}^2=-(1/19)*( 75/2)^2=-5625/76,

此时19x=75 19x,即x=-75/38∈(-2, 1),

所以函数y的最小值为-5625/76。

当-2<x<1时二次函数y=-(x-m) 当-2x1时(2)

※.单调函数法

∵y=x(75 19x),∴y=75x 19x^2,对x求导有:

dy/dx=75 2*19x,令dy/dx=0,则:

75 2*19x=0,此时x=-75/38,且有:

(1) 当x∈(-2,-75/38)时,dy/dx<0,函数为减函数;

(2) 当x∈[-75/38,1)时,dy/dx≥0,函数为增函数。

则当x=-75/38时,y取最小值,此时ymin=-5625/76。


,