数学研习方法——寻找一般规律

对于中小学的数学学习者而言,学习方法非常重要,用带着研究的方法去学习数学,其效果必然会事半功倍。

怎么引入数学中找规律问题(数学研习方法)(1)

图1

美籍华人陈省身教授,是当代举世闻名的数学家,他十分关心祖国数学科学的发展,人们称赞他是"中国青年学子的数学总教练"。

1980年,陈教授在北京大学的一次讲学中语惊四座:"人们常说,三角形的内角和是180度,但这是不对的。"

大家愕然,怎么回事?三角形的内角和是180度,这不是数学常识吗?接着,这位老教授对大家的疑问做出了精辟的解答:

说"三角形内角和为180度"不对,不是说这个事实不对,而是说这种看问题的方法不对,应当说"三角形的外角和是360度!"。

把眼光盯住内角,只能看到:

三角形的内角和是180度;

四边形的内角和是360度;

五边形的内角和事540度;

……

n边形的内角和是(n-2)×180度。

这就找到了一个计算内角和的公式,公式里出现了边数n。

如果看外角呢?

三角形的外角和是360度;

四边形的外角和是360度;

五边形的外角和是360度;

……

任意n边形的外角和都是360度。

这就把多种情形用一种简单的结论概括起来了。用一个与n无关的常数代替了与n有关的公式,找到了更一般的规律。

设想一只蚂蚁在多边形的边界上绕圈子(图2),每经过一个顶点,它前进的方向就要改变一次,改变的角度恰好是这个顶点处的外角。爬了一圈,回到原处,方向和出发时一致了,角度改变量之和恰好是360度。

怎么引入数学中找规律问题(数学研习方法)(2)

图2

这样看问题,不但给"多边形外角和等于360度"这条普遍规律找到了直观上的解释,而且立刻把我们的眼光引向了更广阔的天地。

一条凸的闭曲线——卵形线,谈不上什么内角和与外角和。可是蚂蚁在上面爬的时候,它的方向也在时时改变。它爬一圈,角度改变量之和仍是360度(图3)。

怎么引入数学中找规律问题(数学研习方法)(3)

图3

"外角和为360度",这条规律适用于凸封闭曲线!不过,叙述起来, 要用"方向改变量之和"来代替"外角和"罢了。

对于凹多边形,就要把"方向改变量总和"改为"方向改变量的代数和"(图3)。不妨约定:逆时针旋转的角为正角,顺时针旋转的角为负角。当蚂蚁在图示的凹四边形的边界上爬行的时候,在A1,A2,A4处,由方向改变所成的角是正角:∠1,∠2,∠4;而在A3处,由方向改变所成的角是负角:∠3。如果仔细计算一下,这四个角正负抵消,代数和恰好是360度。

怎么引入数学中找规律问题(数学研习方法)(4)

图4

从普通的、众所周知的事实出发,步步深入、推广,挖掘出广泛适用的深刻规律,对一个普通的数学学习者来说,是一个提升数学基础的好方法,也有助于培养穷追不舍、孜孜以求探索真理的精神。

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