相似三角形的判定定理有3个:

判定定理(1):

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。(简叙为两角对应相等两三角形相似。类似于“AA”型)

判定定理(2):

如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似。类似于“SAS”型)

判定定理(3):

如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似。类似于“SSS”型)

本文为便于表述,将三种判定定理分别表示为:(“AA”型、“SAS”型、“SSS”型)


相似三角形五大模型定理(因动点产生的三角形相似问题)(1)

相似三角形五大模型定理(因动点产生的三角形相似问题)(2)

相似三角形五大模型定理(因动点产生的三角形相似问题)(3)

中考涉及因动点产生的相似三角形问题,一般都涉及分类讨论。尤其是当相似符号“∽”未明确表述的情况下一定要分类!

其中判定定理(1)和判定定理(2)都有对应角相等的条件,因此探求两个三角形相似的动态问题,一般情况下首先寻找一组对应角相等。

判定定理(2)是最常用的解题依据,一般分三步:寻找一组等角,分两种情况列比例方程,解方程并检验。

如果已知∠A=∠D,探求△ABC与△DEF相似,只要把夹∠A和∠D的两边表示出来,按照对应边成比例,分和两种情况列方程.

应用判定定理(1)解题,先寻找一组等角,再分两种情况讨论另外两组对应角相等。

应用判定定理(3)解题不多见,根据三边对应成比例列连比式解方程(组)。

特例:还有一种情况,讨论两个直角三角形相似,如果一组锐角相等,其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的,那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题.


相似三角形五大模型定理(因动点产生的三角形相似问题)(4)

如图1,如果已知A、B两点的坐标,怎样求A、B两点间的距离呢?

我们以AB为斜边构造直角三角形,直角边与坐标轴平行,这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了.水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离,等于A、B两点的横坐标相减;竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离,等于A、B两点的纵坐标相减。

相似三角形五大模型定理(因动点产生的三角形相似问题)(5)

【典型例题】:

(与已知三角形相似):

1.如图,直线y=-x 3与x轴、y轴分别相交于B、C,经过B、C两点的抛物线y=ax2 bx c与x轴另一交点为A,顶点为P,且对称轴是直线x=2,

(1)求抛物线解析式;

(2)连结AC,请问在x轴上是否存在点Q,使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ACB相似,若存在,请求出Q点坐标;若不存在,说明理由.

相似三角形五大模型定理(因动点产生的三角形相似问题)(6)

简析:(1)抛物线解析式为:y=x2-4x 3,

各点坐标分别为:A(1,0), B(3,0),C(0,3),P(2,-1)

(2)由上一问数据可知,△ACB为已知三角形,即三边、三角可知,我们要抓住是否隐藏特殊角,通常是解题的关键。

本题△ACB的其中一角∠ABC=45°为隐藏条件,也是解题突破口。即要求的△PBQ必须有一角为45°,因动点Q在x轴上运动,所以∠PBQ必为45°.即点Q只能在B点左侧的x轴上运动。(如在右侧,△PBQ必有两角小于45°)---这里隐藏一组相等角!

相似三角形五大模型定理(因动点产生的三角形相似问题)(7)

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