《一元二次方程》是中考的核心考点，涉及到的内容、题型繁多，因此对这个知识点将分两部分内容讲解：1、一元二次方程的基础知识、基本考点和基本解题方法的归纳总结；2、从2018年各地的中考试卷上精选习题，讲练结合，进一步强化提高.
本篇是第一部分，以《一元二次方程》的双基知识为主.
【考点1】一元二次方程及其解法
- 一元二次方程必须具备三个条件：
- (1)必须是整式方程；
(2)必须只含有1个未知数；
(3)所含未知数的最高次数是2．
2.一般形式：
3. 一元二次方程的解法：
（1）直接开平方法，适用两种题型
①当方程缺少一次项时，即方程ax^2＋c＝0(a≠0，ac<0)；
②形如(x＋m)^2＝n(n≥0)的方程.
（2）配方法，理论上只要有实数根的的一元二次方程都可用此法，步骤：
①变形：把二次项系数化为1；②移项：把常数项移到方程的右边；③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；④用直接开平方法求解.
（3）公式法，适用于所有一元二次方程，求根公式为
注意事项：
①使用求根公式时要先把一元二次方程化为一般形式，方程的右边一定要化为0；
②将a，b，c代入公式时应注意其符号；
③若b^2－4ac<0，则原方程无解.
（4）因式分解法，适用题型为“左边能分解因式，右边为0的一元二次方程”，解题步骤：
①将方程右边化为0；②将方程左边进行因式分解；③令每个因式等于0，得两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程得到原方程的根.
归纳：解一元二次方程的核心思想是降次，即将一元二次方程转化为两个一元一次方程.解一元二次方程需要根据方程的特点选用合适的方法，对四种解法要灵活运用.
例1、 下列方程是一元二次方程的是________．
① x^2＋2x－8＝0；② x^2＋5＝0；③ (x^2＋3)^2＝0；④ x^2＋1/x＝6；⑤ 5x^2－6y－1＝0.
解析：③中把括号去掉后未知数x的最高次数是4，④中1/x属于分式，⑤中含有两个未知数x和y，因此它们都不是一元二次方程.故正确答案是：①②.
例2、若
是关于x的一元二次方程，则a的值为( )
A. 3 B. －3 C. ±3 D. 无法确定
解析：∵此方程是关于x的一元二次方程，∴ a^2-7=2 解得a=±3，当a=3时，方程第一项为0变成了一元一次方程，所以a=3舍去，则a=-3，答案是：B.
点评：判断方程是否是一元二次方程时，一定要注意不能使二次项的系数等于0.
例3、（易丢分题）方程x(x－1)＝2(x－1)^2的根为( )
A. 1 B. 2 C. 1和2 D. 1和－2
解：方程两边同时除以公因式(x－1)，得：x＝2(x－1)……第一步
移项得：x－2(x－1)＝0……第二步
去括号得：x－2x＋2＝0……第三步
解得：x＝2.……第四步
上述解析过程是从第一步开始出现错误的，此题的最终结果是C．
错误剖析：对于左右两边含有相同未知数因式的一元二次方程，应将方程化为一般式后再求解(或将方程变为等号一边为0，另一边含未知数的式子，利用因式分解法求解)，切勿直接约去含有相同未知数的项而丢根．
【考点2】一元二次方程根的判别式及根与系数的关系（高频考点）
1、根的判别式：
一元二次方程ax^2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b^2－4ac.
①b^2－4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根；
②b^2－4ac=0⇔方程有两个相等的实数根；
③b^2－4ac＜0⇔方程没有实数根.
2、一元二次方程根与系数的关系：
设一元二次方程ax^2＋bx＋c＝0(a≠0)的两实数根为x1和x2，则有x1 x2=-b/a，x1·x2=c/a.
注意事项：
（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，一定要考虑二次项系数不为0这个限制条件；
（2）利用根与系数关系解题时，要注意根的判别式b^2－4ac≥0；
（3）根与系数的两个推论：
①如果方程x^2＋px＋q＝0的两个根是x1和x2，那么x1 x2=-p，x1·x2=q；
②以两个数x1和x2为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x^2-（x1 x2）x＋x1·x2＝0.
例1、（易丢分题）若关于x的一元二次方程(k－1)x^2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．
解：∵关于x的一元二次方程(k－1)x^2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，∴b^2－4ac＝16－4(k－1)>0，即4－k＋1>0，k<5.
错误剖析：上述解法错在忽略了二次项系数不能为0的情况，此题的正确结果应是k＜5且k≠1．
例2、（2017·湖北咸宁）已知a，b，c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax^2 bx c＝0的根的情况是（ ）
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断
解析：因为点P（a，c）在第二象限，所以a＜0，c＞0，则可知ac＜0，由此可推出b^2-4ac＞0. 因此，原方程有两个不相等的实数根，故选B.
点评：根的判别式的三个作用：①不解方程，直接判断一元二次方程根的情况；②根据方程根的情况，确定某个未知系数的值(或范围)；③证明一个一元二次方程根的情况．
例3、（2017青海西宁）若x1和x2是一元二次方程x^2＋3x-5＝0的两个根，则
的值是________．
解析： ∵x1、x2是原一元二次方程的两个根，∴x1 x2=-3，x1·x2=-5. ∴要求的代数式可化为 x1·x2（x1 x2）=-5×（-3）=15.
点评：一元二次方程根与系数的关系的应用主要体现在以下几个方面：
①验根，不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是否是原一元二次方程的两个根；
②由已知方程的一个根，可以求出另一个根及未知系数；
③已知方程的两个根，求这个一元二次方程；
④已知两个数的和与积，求这两个数；
⑤不解方程，利用根与系数的关系求关于x1，x2的代数式的值，此时需要熟练掌握以下重要的变形：
【考点3】一元二次方程的实际应用
1、列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、列、解、验、答六步；
2、常见的应用题类型：
（1）平均增长(下降)率问题方法归纳
设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a×（1 m）^n=b；当x为平均下降率，n为下降次数，b为下降后的量时，则a×（1-m）^n=b．
注意事项：增长率问题所列的一元二次方程一般用直接开平方法求解．
（2）利润问题——“每每模型”方法归纳
题干中已知量为进价a元，原售价b元，销量m件，销量随售价每提高(降低)d元而减少(增加)c件，获得利润n元．
①若设售价x元，则列式为
②若设提(降)价x元，则列式为
③若题干中已知量为：盈利a元，销量m件，销量随售价每提高(降低)d元而减少(增加)c件，获得利润n元．设提高(降低)x元，列式为(a±x)(m∓cx/d)＝n.
（3）面积类问题常见图形方法归纳
①如下图，设空白部分的宽为x，则S阴影＝（a-2x）（b-2x）；
②如下面3个图，虽然形状不同，其实列出的方程是一样的，若设空白道路的宽为x，则S阴影＝（a-x）（b-x）；
③如下图，围栏总长为a，BC的长为b，则S阴影＝（a-b）/2×b.
（4）握手、单循环赛与送礼物类方法归纳
握手总次数、单循环赛的场次＝n(n－1)/2；送礼物总份数＝n(n－1)．
例1、某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为________．
解析：设每次降价的百分率为x，则由题意可得125（1-x）^2=80 可化为（1-x）^2=16/25，可得1-x=±4/5（-4/5不合题意故舍去）∴1-x=4/5 ∴x=1/5，即每次降价的百分率为20%.
例2、我市为了增强学生体质，开展了乒乓球比赛活动．部分同学进入了半决赛，赛制为单循环形式(即每两个选手之间都赛一场)，半决赛共进行了6场，则共有________人进入半决赛．
解析：设有x人进入了半决赛，因为半决赛共进行了6场，所以x（x-1）/2=6，解此方程得x1=-3（舍去），x2=4.故答案为4.
例3、（2017·山东菏泽）某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个.已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？
解析：设这种玩具的销售单价为x元时，厂家每天可获利润20000元. ∵销售单价每降低1元，每天可多售出2个，∴ 现在每天销售[160 2（480-x）]个，可得方程（x-360）×[160 2（480-x）]=20000，整理可得x^2-920x 211600=0，即（x-460）^2=0，解得 x1=x2=460，∴ 这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20000元.
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