应用数学大师林家翘百年诞辰，下面我们就来说一说关于数学史三大数学流派?我们一起去了解并探讨一下这个问题吧!
数学史三大数学流派
应用数学大师林家翘百年诞辰
2016年是杰出的应用数学家林家翘先生诞辰100周年。在美数学家丁玖教授特此撰写长文，缅怀纪念林先生一生的贡献。《赛先生》获得授权，将本文分成三部分于近日陆续发布，分别介绍林先生美国求学的经历，任教麻省理工学院时的科研活动，以及晚年回国后大力提倡应用数学的努力。本文是第二部分。前文请见『数坛风流，百年翘楚』之峥嵘初露。
撰文 丁玖（美国南密西西比大学数学系教授）
“不稳定性先生”
林家翘的正式教职起始于1945年，那年他被聘为美国布朗大学的应用数学助理教授。一年后，他就被提升为副教授。1947年，他又被麻省理工学院 ( MIT ) 数学系挖去当副教授，1953年晋升为正教授。麻省理工学院创校之初的几十年，数学系基本上是只管教书的“服务系”，尽管创造型的大数学家维纳一直待在那里。那些年，每个教授每周要教十几个小时的繁重课程，包括维纳。但是从上世纪40年代开始，尤其是二战结束后，学校领导懂得了数学研究的重要性，开始重视数学系的发展，从此数学系的定位由教学型转为研究型。在此后至今的一个甲子里，麻省理工的数学系从地面飞到天上，甚至可以和旁边的哈佛比比高低了。
MIT数学系纪念林家翘教授页面截图
林家翘加盟麻省理工学院，可以说是该校应用数学研究的起点。他发展了解析特征线法和WKBJ方法，解决了关于微分方程渐近解理论的一个长期未决问题。命名WKBJ方法的四个字母来自四个先驱者的姓：Wentzel、Kramers、Brillouin及Jeffreys。这个方法用于一类带小参数的线性常微分方程，其未知函数最高阶导数的系数就是那个几乎为零的小参数。当参数等于零时，方程的阶数下降至少为一，因而解的结构和性质发生了大的变化，这和动力系统领域的分支 ( bifurcation ) 现象类似。WKBJ方法的基本思想是将解写成带有参数δ的一个渐近级数当δ趋于0后的极限。将这个渐近级数代入原方程，可以通过逐项比较的方法决定级数中δ幂次的系数函数。这是当今已经广泛使用的奇异摄动法的一个典型范例[1]。
林家翘是美国当代应用数学学派认可的领路人之一，也是国际公认的力学和应用数学权威之一。就像陈省身被誉为“现代微分几何之父”，有人将他尊为“应用数学之父”。除了上述的两项杰出工作外，他在应用数学方面的最大成就之一当属流体力学，其主要贡献包括：平行剪切流和边界层的稳定性理论、与冯·卡门共同提出的各向同性湍流的谱理论及冯·卡门相似性理论的发展，以至于被国际同行戏谑为“不稳定性先生”，引领了一代人的探索与研究。林家翘在清华本科的老师周培源毕生着迷于探索湍流的奥秘，也希望自己的弟子沉浸其中。现任中国南方科技大学校长的陈十一，曾在80年代中期跟随他念博士，专攻湍流。林家翘晚年在清华大学回忆道：“周先生已经吩咐我，一定要研究‘湍流’，因为这是一类基础科学研究。”在这一极具挑战性的领域，林家翘为老师争了光，与自己的博士导师成了早期湍流统计理论的主要学派。2010年5月7日《光明日报》上登载了周培源应用数学中心主任、清华大学教授雍稳安的评述：“第一个系统地建立了流体（比如水、空气、血液）流动稳定性理论的是林家翘先生。这个理论是迄今为止的湍流理论的基础和一个重要组成部分。”
一名学者终其一生，即便只有一个较大的科学发现，就足够引以自豪了。有位数学系的主任曾经做过统计，美国所有高校的数学博士一生发表数学论文的平均篇数差不多是1。几乎所有的科学家一辈子只在一个领域里劳作，只在一处矿场中寻觅，发现一块稀有矿石就可用“杰出”来形容了。更多的大学教授拿到终身教职的位置后就开始享受人生，不再用功，因为他们的业余爱好丰富，为之不吝时间。林家翘不仅有第二大学术成就，而且这个成就是在他成为正教授跨入中年后，踏足全新的一个领域里取得的。这个领域就是天体物理学，而他载入史册的贡献是创立了盘状星系螺旋结构的密度波理论，从而解决了困扰天文界数十年的“缠卷疑难”，并进一步完善了星系旋臂长期维持的动力学理论。
握住群星的旋臂
在1960年到1961年这一个学术年中，林家翘在普林斯顿高等研究院度过了他在那里的第一个学术休假。那时，超流体的研究受到重视，在那里当永久教授的杨振宁正在研究玻色-爱因斯坦凝聚问题，而凝聚就产生超流体，因此他希望同既懂物理、又精流体力学的人合作。“不稳定性先生”林家翘两者俱强，于是杨教授想到了西南联大曾经的学长兼老师林家翘（据说林家翘曾带过杨振宁的班），这就是林家翘在那里访问一年的缘故。然而，普林斯顿之旅却把他引入了一个全新的领域——天体物理学。这次，流体力学界的“不稳定性先生”被天体物理学中的不稳定性问题“抓住”了。
1961年4月，林家翘应邀参加了使用着爱因斯坦曾经待过的办公室的高等研究院首位理论天体物理学教授、丹麦人斯特龙根（Bengt Stromgren, 1908-1987）组织的一次星系学术会议，从中得知天文学家们对大多数盘状星系都呈现漩涡结构这个问题不知如何回答。盘状星系靠近中心之处比远离中心的物质旋转一圈耗时更少，这就是所谓的“差异旋转（differential rotation）”。但是星系的旋臂并非因此像线团那样越绕越紧。这个问题如此之大，使得美国那个时代最伟大的物理学家费曼（Richard Feynman, 1918-1988）在他脍炙人口的《物理学讲义》中都说：“如果你想寻找一个好问题，试一试螺旋结构吧”。荷兰莱顿大学的天文学家奥尔特（Jan Oort, 1900-1992）提出的这个“缠卷疑难”，强烈地吸引着林家翘。或许因为在加州理工学院的博士生阶段，林家翘曾选修过天文学大牌教授Fritz Zwicky （1898-1974）的一门课而产生对天文的业余爱好，一旦风吹草动，他的潜意识就被唤醒，这是佛洛依德学说可以解释的。
一回到麻省理工，林家翘马上邀请了这个领域的两大专家前去演讲，并且鼓励他的年轻同事组成讨论班，其中一人名叫图穆尔（Alar Toomre, 1937- ），是爱沙尼亚人，十多岁时移民美国，本科毕业于麻省理工，1957年作为竞争激烈的“马歇尔学者”去了英国的曼切斯特大学深造流体力学，三年后回到母校当了两年的“应用数学讲师”。此时正值林家翘摩拳擦掌准备在天体理论中大干一场之际，他帮助安排已经就此课题有了薄圆盘不稳定性新想法的年轻有为的图穆尔去普林斯顿的高等研究院待了8个月。1963年图穆尔回到原校，从助理教授起一直干到退休。1983年，恰好与林家翘1962年当选时同样的46岁，图穆尔也成了国家科学院的院士。
后来的几年，林家翘带领他的团队，紧锣密鼓地探索盘状星系的动力学。除了像图穆尔这样的年轻教授外，一位更年少的大学生徐遐生（1943- ）在1962年秋跟他做了本科学位论文，探讨涡旋密度波的理论，最终成了他一生中最优秀的弟子，44岁就当上了国家科学院院士，长期为伯克利加州大学的天文学教授。徐遐生的父亲徐贤修（1912-2002）在1946年就去了林家翘任教的布朗大学读研究生，两年后获得应用数学的博士学位，那时林家翘已被麻省理工挖走。徐氏父子两人先后于1970年和2002年出任台湾新竹清华大学的校长，一时传为佳话。
2005年，徐遐生校长代表台湾新竹清华大学颁授林家翘先生名誉博士学位（图片来源：清华新闻网）
林家翘再次大耍应用数学的板斧，将他研究流体力学的办法应用于星系力学的版图。天体物理与地面物理的研究有一个巨大的不同，就是前者不能做实验，只靠观察数据，而后者可以用可重复的实验来检验理论。因此无实验条件的研究更需丰富的想象力。林家翘具有跨越学科的分析能力和想象天赋。他推导出的理论是：盘状星系中看到的旋臂不是一种物质结构，而是一组波，并且这种波是长期存在的。林家翘和学生徐遐生用这个理论解释了某些盘状星系的哈勃图和盘星系的其它性质，如星系M51。他们最初的合作文章“盘状星系的螺旋结构”1964年刊登在《天体物理杂志》上，迄今已被引用1000次。
林家翘密度波理论中的“密度波”概念得到了广泛承认，但是谦谦君子的他却把密度波创始人的荣誉，让给1942年首先提出密度波理论来解释漩涡星系旋臂结构的星系动力学先驱、瑞典天文学家林德布拉德（B.Lindblad, 1895-1965），尽管按照台湾中央研究院天文研究所的袁旂（1937-2008）教授在回忆文章《我认识的林家翘先生》中的说法，后者“提出的密度波，其实是非常粗略、原始，决不是林先生精心构建、演绎出来的理论。”
激辩数十载
然而，密度波显现出的漩涡结构是否如林家翘和徐遐生所断言是“长期存在的”还是“短暂的”或来自其它星系的影响，这个争论持续了几十年，而后者曾是天文学界的主流观点。徐遐生教授在纪念老师诞辰100周年的文章中这样写道：“这场争论引发的矛盾超越了专业层面，有些地方甚至涉及了人身攻击。对于他的崇拜者来说见证这种攻击是不愉快的。”
林家翘的样子一看就是文质彬彬的书生形象。1966年从密歇根大学拿到流体力学博士学位后跟随林家翘做天体物理博士后研究的袁旂，40年后在他为大陆的《力学进展》杂志撰写的回忆录中这样描绘林教授：“他个头不高，一副恂恂儒者彬彬君子的模样，是一个温文儒雅的长者，他对人十分和气，完全没有丝毫盛气凌人的神态……”但是，文雅的举止包住的是坚韧的内心，在必须捍卫真理之时，他有雷霆万钧之势。面对甚嚣尘上的“密度波只能短时存在”之异议，他立刻胸有成竹地用“驻波”的概念阻挡了对密度波理论的反驳。这种成功并且见地深刻的快速反击，让几十年之后的袁教授依然赞叹不已。
密度波理论示意图（图片来源：徐遐生《纪念林家翘先生》）
争论的另一方代表人物就是林家翘曾经寄予厚望并且提携有加的本系同事图穆尔。他去普林斯顿的逗留及麻省理工数学系正式教职的回聘，都是林家翘的功劳。如果在中国，很难想象学生辈或受过恩典的晚生会对前辈“大逆不道”地学术叫板，但在西方，“吾爱吾师，但吾更爱真理”。图穆尔只是坚持了自己的不同学术观点，并没有对林家翘进行过“人身攻击”。
我在今年的暮春初夏，通读了一本441页、出版于2009年的英文书，名叫Recountings: Conversations with MIT Mathematicians（《回顾：与麻省理工数学家交谈》）。这是林家翘1959年带出的博士Lee A. Segel（1932-2005）之子Joel Segel，对麻省理工数学系的一打资深教授及该系灵魂人物列文森教授未亡人的采访记[2]。Joel Segel书中采访的第六个教授就是图穆尔，记录的内容与林家翘直接相关的三章标题分别是C. C. Lin；Princeton；MIT and the Spiral Galaxy Controversy（林家翘；普林斯顿；麻省理工学院及螺旋星系争论）。当我看到林家翘那张儒雅的中年头像时，完全被他的风度吸引住了，当今中国的知识分子群体中，这样的君子风范不多见了。难怪图穆尔教授谈及林家翘时，一开始就表露了他的钦佩：“我记得当我刚来时，一件事立马震撼了我：‘我的天，真是一位有教养、口才好的人！’（My goodness, what a cultured and articulate guy!）” 口才好的原因之一是：“他是我见到过的英文棒极了的第一个中国科学家。”（He was the first Chinese scientist I knew whose English was terrific.）
在关于学术争论那一章的最后，Segel 问图穆尔是否因不同学术见解导致了个人化情绪并影响了彼此的关系。对方回答道：“没有。当他说某事时我退避，当我说到其它事时他也这样。我们彼此以礼相待，15年间都是自然科学基金项目资助下的共同研究者，直到80年代中期他逐步淡出江湖退休为止。”他再次强调“家翘与他太太是非常优雅（graceful）的人。”“我在许多方面都非常感激他，虽然专家们知道林和图穆尔之间有许多学术分歧，然而这只是家庭之内的纷争。”
几十年学术争论迄今为止是否已尘埃落定？我们还是听听权威人士徐遐生在纪念文章中说的一段话吧：“在这段艰难的时期，他始终让自己保持冷静和严肃。如果说在他以前关于平行流的稳定性上的争论显示了他‘胜利的气度’，那么现在他表现出的则是‘在受到攻击时的勇气’，也许这是因为他知道他总是会在最后取得胜利。对于他的过早离世，我感到十分遗憾，因为他没有听到我在2013年6月24-28日在北京召开的纪念座谈会上做的总结报告。在报告中我告诉大家，虽然该理论在细节上仍然存在一定的不确定性，但林先生对于密度波理论的认知，已经通过观测和更好的数值模拟被证明是正确的。”
本文原题为《百年林家翘》。
注释
[1] 我曾在密歇根州立大学数学系读博士学位的第二个短学期里，修过一门叫“应用数学高等论题”的课程，内容为奇异摄动方法 (singular perturbation method)，是一位数学系和机械工程系的双聘教授讲授的。那位来自台湾的风度翩翩的高个头王教授，他50年前的应用数学博士学位就来自麻省理工学院。我那时还不知道林家翘身兼奇异摄动大军的教头，否则我修这门课的劲头会更大，尽管我还是拿了个A。
[2] 30年前我在密歇根州立大学修过一门一学年课程“应用数学基础”，授课的颜宪尧教授为孔子门徒颜回的直系后代，也是系里给我指定的学术导师(Academic Advisor)；这有别于论文导师(Thesis Advisor)。他为这门课选用的教材就是70年代林家翘与Lee A. Segel合著的大书《自然科学中确定性问题的应用数学》(Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences)。该书1988年的第二版被美国工业与应用数学协会作为应用数学经典丛书第一号出版。那年我一边修颜教授的课，一边充当他这门课的教学助理，替他批改作业，我甚至自己都可以不做作业了。今天为写这篇文章，我打开了他当时送给我的这本Lin-Segel大书，扉页上有他的手写名字D.Yen，也有我留下的记录Presentedby Prof. Yen to Jiu Ding, 1987（1987年颜教授赠与丁玖）。这使我陷入了沉思，想起了他当年对我的关怀和教导。在他退休后因病去世前不久，我十年前在他亚特兰大的居所最后一次看到他时，留下了一张珍贵的合照。
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赛先生系今日头条签约作者
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