简谐运动的回复力和能量
【教学目标】
一、知识与技能https://www.shimengyuan.com/nianji/2411.html
1．理解简谐运动的运动规律，掌握在一次全振动过程中位移、回复力、加速度、速度变化的规律。
2．掌握简谐运动回复力的特征。https://www.renjiaoshe.com/jiaocai/2061.html
3．对水平的弹簧振子，能定性地说明弹性势能与动能的转化过程。
二、过程与方法
1．通过对弹簧振子所做简谐运动的分析，得到有关简谐运动的一般规律性的结论，使学生知道从个别到一般的思维方法。
2．分析弹簧振子振动过程中能量的转化情况，提高学生分析和解决问题的能力。
三、情感态度价值观
1．通过物体做简谐运动时的回复力和惯性之间关系的教学，使学生认识到回复力和惯性是矛盾的两个对立面，正是这一对立面能够使物体做简谐运动。
2．简谐运动过程中能量的相互转化情况，对学生进行物质世界遵循对立统一规律观点的渗透。
【教学重点】
1．简谐运动的回复力特征及相关物理量的变化规律。
2．对简谐运动中能量转化和守恒的具体分析。
【教学难点】
1．物体做简谐运动过程中位移、回复力、加速度、速度等变化规律的分析总结。
2．简谐运动中能量的转化。
【教学过程】
一、复习提问、新课导入
前面两节课我们学习了简谐运动的规律，学习了哪些呢？这些都是从运动学的角度研究的简谐运动，那么物体简谐运动时，所受合力有何特点呢？今天我们将从另外一个角度——动力学角度研究简谐运动，并从能量观点加深对简谐运动的认识。
【板书】简谐运动的回复力和能量
二、新课教学
（一）简谐运动的回复力
动画模拟展示水平方向上弹簧振子的运动情况，发现当把弹簧振子从它静止的位置O拉开一小段距离到A再放开后，它会在A－O－B之间振动。提出问题：为什么会振动？引导学生定格分析在不同时刻的位移方向及受力，进一步引导学生分析这个力的特点。
引导学生分析得出：物体做机械振动时，一定受到指向中心位置的力，这个力的作用总能使物体回到中心位置，我们把这个力叫做简谐运动的回复力。
1．定义：使振子回到平衡位置的力。
2．方向：始终指向平衡位置。
3．特点：根据力的效果命名。
对于水平方向的弹簧振子，回复力就是弹簧的弹力，那竖直方向上的弹簧振子振动过程中是哪个力提供了回复力呢？动画展示竖直方向上的弹簧振子的运动，引导学生思考分析。师生共同分析得出：回复力可以是重力、弹力、摩擦力，还可以是几个力的合力或某个力的分力。
4．来源：振动方向的合外力。
振子由于惯性而离开平衡位置，当振子离开平衡位置后，振子所受的回复力总是使振子回到平衡位置，这样不断地进行下去就形成了振动。振动的平衡位置O也可以说成是振动物体振动时受到的回复力为零的位置。弹簧振子振动时，不同的位置位移不同，回复力也不同，那回复力与位移又有什么关系呢？
引导学生分析得出：由振动过程的分析可知，振子的位移总是相对于平衡位置而言的，即初位置是平衡位置，位移可以用振子的位置坐标x来表示，方向始终从平衡位置指向振子（外侧）。回复力的方向始终指向平衡位置，因而回复力的方向与振子的位移方向始终相反。
对水平方向的弹簧振子来说，回复力就是弹簧的弹力。在弹簧发生弹性形变时，弹簧振子的回复力F跟振子偏离平衡位置的位移x成正比，方向跟位移的方向总是相反。以O点为坐标原点建立坐标轴，即可得
式中F为回复力，x为偏离平衡位置的位移，k是劲度系数，负号表示回复力与位移的方向总相反。
5．简谐运动的动力学特征：
【总结】大量理论研究表明：如果质点所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。
课堂练习1
如图所示，是一弹簧振子，设向右方向为正，O为平衡位置，则（ ）
（二）简谐运动的能量
观察振子从A→O→B→O→A的一个循环，这一循环可分为四个阶段：A→O、O→B、B→O、O→A，分析在这四个阶段中上述各物理量的变化，并将定性分析的结论填入表格中。
分析：弹簧振子由A→O的变化情况
分步讨论弹簧振子在从A→O运动过程中的位移、回复力、加速度、速度、动能、势能和总能量的变化规律。
①从A到O运动中，位移的方向如何？大小如何变化？
由A到O运动过程中，位移方向由O→A，随着振子不断地向O靠近，位移越来越小。
②从A到O运动过程中，小球所受的回复力有什么特点？
小球共受三个力：弹簧的拉力、杆的支持力和小球的重力，而重力和支持力已相互平衡，所以回复力由弹簧弹力提供。
所以从A→O过程中，据胡克定律得到：物体所受的合力变小，方向指向平衡位置。
③从A到O运动过程中，振子的加速度方向如何？大小如何变？
据牛顿第二定律得：小球从A到O运动过程中，加速度变小，方向指向平衡位置。
④从A→O过程中，速度方向如何？大小如何变化？
因为物体的速度方向与运动方向一致，从C到O运动过程中，速度方向是从A→O。随着振子不断地向O靠近，弹簧势能转化为动能，所以小球的速度越来越大。
⑤从A→O过程中，动能大小如何变化？
动能是标量，从A→O，大小变化是越来越大。
⑥从A→O过程中，势能大小如何变化？
势能是标量，从A→O，大小变化是越来越小。
⑦从A→O过程中，总能量大小如何变化？
教师巡视，检查讨论情况，及表格填写是否正确。
【总结】回复力的方向始终指向平衡位置，加速度的方向与回复力的方向相同，也始终指向平衡位置。
回复力与加速度的方向总是与位移方向相反。
速度方向与位移方向有时一致，有时相反；速度方向与回复力、加速度的方向也是有时一致，有时相反。因而速度的方向与其它各物理量的方向间没有必然联系。
1．简谐运动过程中动能和势能不断地发生转化。系统的总机械能不变。
2．振幅越大，机械能越大。
3．势能Ep、动能Ek都在不断变化。
在四个阶段中，x、F、a、v、Ek、Ep、E的大小变化可分为两组，x、F、a、Ep为一组，v、Ek为另一组，每组中各量的变化步调一致，两组间的变化步调相反。因不考虑各种阻力，整个过程中总能量保持不变。即：振动系统的总能量守恒。
当物体向着平衡位置运动时，a、v同向，振子做变加速运动，
此时x↓F↓a↓Ep↓
v↑Ek↑
当物体远离平衡位置运动时，a、v反向，振子做变减速运动，
此时x↑F↑a↑Ep↑
v↓Ek↓
在平衡位置的两侧，距平衡位置等距离的点，各量的大小对应相等，振子的运动具有对称性。
特别说明：以上分析是在忽略摩擦等阻力的条件下进行的，实际的运动都具有一定的能量损耗。
课堂练习2
在简谐运动中，振子每次经过同一位置时，下列各组中描述振动的物理量总是相同的是（ ）
A．速度、加速度、动能
B．加速度、回复力和位移
C．加速度、动能和位移
D．位移、动能、回复力
【练习反馈】
1．做简谐运动的物体所需的回复力大小与物体的位移大小成____________，方向总指向____________，与位移方向____________。
2．做简谐运动的弹簧振子，当位移减小时，是____________能转化为____________能；当加速度增大时，是____________能转化为____________能。
3．一单摆正在做简谐运动，摆长为L，摆球质量为m，最大偏角为θ，若取悬点处的势能为零，则在摆动过程中摆球的最大动能为____________，最大势能为____________，机械能为____________。
4．如图所示为一单摆做简谐运动的图象，在图示时间范围内回答下列问题：
（1）与0.4s时的位移相同所对应的时刻有：__________；
（2）与0.4s时的加速度相同所对应的时刻有：_________；
（3）与0.4s时的速度相同所对应的时刻有：__________；
（4）与0.4s时的动能相同所对应的时刻有：__________；
（5）与0.4s时的势能相同所对应的时刻有：____________。
5．单摆小球质量为m，摆长为L，摆角为θ（θ＜5°），以平衡位置处重力势能为0，则此单摆的振幅为___________，振动能量为___________，摆球通过最低点时的速度为______。
6．一个弹簧振子做简谐运动时，所具有的能量与下列哪个物理量是有关的（ ）
A．周期 B．振幅 C．振子质量 D．频率
7．自由摆动的秋千，振动的振幅越来越小，下列说法中正确的是（ ）
A．机械能守恒 B．能量正在消失
C．总能量守恒，机械能减少 D．只有动能和势能的相互转化
8．做简谐运动的物体，在运动到最大位移时，具有最大值的物理量是（ ）
A．回复力 B．速度 C．动能 D．势能
9．关于弹簧振子做简谐运动时的能量，下列说法正确的有（ ）
A．等于在平衡位置时振子的动能
B．等于在最大位移时弹簧的弹性势能
C．等于任意时刻振子动能与弹簧弹性势能之和
D．位移越大振动能量也越大
10．下列说法正确的有（ ）
A．阻尼振动就是减幅振动
B．实际的振动系统不可避免地要受到阻尼作用
C．阻尼振动的振幅逐渐减小，所以周期也逐渐减小
D．阻尼过大时，系统将不能发生振动
11．如果存在摩擦和空气阻力，那么任何物体的机械振动严格地讲都不是简谐运动，在振动过程中振幅、周期和机械能将（ ）
A．振幅减小，周期减小，机械能减小
B．振幅减小，周期不变，机械能减小
C．振幅不变，周期减小，机械能减小
D．振幅不变，周期不变，机械能减小
12．如图所示是单摆做简谐振动的振动图像，可以判定（ ）
A．从t1到t2时间内摆球的动能不断增大，势能不断减小
B．从t2到t3时间内振幅不断增大
C．t3时刻摆球处于最低点处，动能最大
D．t1、t4时刻摆球的动能、动量都相同
13．一秒摆摆球的质量为0.2kg，它振动到最大位移时距最低点的高度为0.4cm，它完成10次全振动回到最大位移时，距最低点的高度变为0.3cm，如果每完成10次全振动给它补充一次能量，使摆球回到原来的高度，在60s内总共应补充多少能量？
14．如图所示，轻弹簧的一端固定在墙上，另一端系一质量M=0.98kg的木块，木块放在光滑的水平面上并处于静止状态，现有一颗质量m=0.02kg的弹丸以水平速度v0=100m/s射入木块，并留在木块中，此后这一留有弹丸的木块在水平面上做简谐运动，求这一振动系统的振动能量。
答案
1．正比，平衡位置，相反
2．弹性势，动，动，弹性势
3．mgL(1-cosθ)，mgL(1-cosθ)，mgL(1-cosθ)
4．（1）0.6s、1.2s、1.4s
（2）0.6s、1.2s、1.4s
（3）0.2s、1.0s、1.2s
（4）0、0.2s、0.4s、0.6s、0.8s、1.0s、1.2s、1.4s
（5）0、0.2s、0.4s、0.6s、0.8s、1.0s、1.2s、1.4s
6．BC
7．C
8．AD
9．ABC
10．ABD
11．B
12．AC
14．2J
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