双动点问题
一、直线型运动
1．如图，等边△ABC的边长为4 cm，动点D从点B出发，沿射线BC方向移动，以AD为边作等边△ADE。如图①，在点D从点B开始移动至点C的过程中，求点E移动的路径长．
分析：要求点E移动的路径长，首先要确定点E的运动轨迹。连结CE，如图②,
易证△ABD≌△ACE，得∠B=∠ACE=60° ，因为∠ACB=60°，所以∠ECF=60°=∠B，所以EC∥AB，故在点D从点B开始移动至点C的过程中,点E的运动轨迹是过点C且平行于AB的一条线段，确定了轨迹，再确定起始与终止位置就可求出路径长．答案：4
2．已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，点G移动的路径长是_____．
分析：延长AC、BD相交于点E，
因为∠A=∠DPB=60°，所以PD∥EA，同理PC∥EB，所以四边形CPDE是平行四边形，连结EP，所以EP、CD互相平分，因为点G为CD的中点，所以EG=PG，所以点G是EP的中点，当点P从点A运动到点B时，点G的运动轨迹是△EAB的中位线MN．答案：5
双动点的运动问题中，第二动点的运动轨迹如果是直线型，通常可以找到第二动点所在直线与已知直线的位置关系如平行、垂直等，或者是某一条特殊的直线（或直线上的一部分）如中位线、角平分线等．
请您思考
试一试：1.如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从点A出发，沿边AB－BC向终点C运动，以DE为边作正方形DEFG（点D、E、F、G按顺时针方向排列）．设点E运动的速度为每秒1个单位，运动的时间为x 秒．（1）如图，当点E在AB上时，求证：点G在直线BC上；（2）直接写出整个运动过程中，点F经过的路径长．
答案：
答案：C
二、圆（圆弧）型运动
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_____．
分析：本题中，要求点P到边AB距离的最小值，先要确定点P的运动轨迹．因为FP=FC=2，所以点P的运动轨迹是以点F为圆心，2为半径的圆弧（如图），过点F作FQ⊥AB，以F为圆心的弧与FQ的交点为满足条件的点P．
答案： 6/5
这是动点轨迹为圆弧的一种类型，动点满足到定点的距离等于定长，确定动点的运动轨迹为以定点为圆心，定长为半径的圆（或一段弧）．
2. 如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点(不与B、D重合)，连结AP，过点B作直线AP的垂线，垂足为H，连结DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是_______．
分析：要求线段DH长度的最小值，先要确定动点H的运动轨迹。在点P的运动过程中，∠AHB=90°，点H的运动轨迹是以AB为直径的半圆，题目转化为圆外一点到圆上一点之间的最小距离的问题（如图），连结点D和AB中点O，与半圆O交于点H，此时DH长度最小．
答案：
这一类动点满足与定线段构成一个直角三角形，且为直角顶点，则这个动点的轨迹是以定线段为直径的圆（或圆弧）。由特殊到一般，如果动点与定线段构成的三角形中，以动点为顶点的角度确定，这个动点的运动轨迹是以定线段为弦的圆（或圆弧）.
3. 如图，正方形OABC的边长为4，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是（ ）
分析：这题看似动点很多，其实点A、B、C可看成是同一个动点，点P是第二动点，要求点P运动的路径长，先要确定点P的运动轨迹。因为四边形OABC是正方形，所以∠AOC=90°，所以∠AFC=45°，因为EF是直径，所以∠EAF=90°，∠APF=45°，∠EPF=135°，点P的运动轨迹是以EF为弦且该弦所对的一个圆周角为135°的一段圆弧（如图）。求出这段圆弧所对圆心角以及所在圆半径便可解决问题．
答案：A.
由此可见，定线段和动点组成的三角形中，如果以动点为顶点的角度是定值，那么这个动点的运动轨迹是一个圆（或一段圆弧）．
试一试1.如图，已知等边△ABC 的边长为 8，以 AB 为直径的圆交 BC 于点 F。已 C 为圆心，CF 长为半径作图，D 是⊙C 上一动点，E 为 BD 的中点，当 AE 最大时，BD 的长为（ ）
答案：B
2．如图，已知A、C是半径为2的⊙O上的两动点，以AC为直角边在⊙O内作等腰Rt△ABC，∠C=90°，连接OB，则OB的最小值为_______．
答案：
三、在函数图像上运动
答案：B.
上题双动点的问题中，第二动点的运动轨迹为某函数的图像（或一部分），我们可以用设坐标的办法，求出动点坐标，再找两坐标之间存在的函数关系式，这个函数关系式在动点运动的过程中固定不变．本文以反比例函数为例，除了设坐标，有时也可利用面积的转化求得函数关系式．
练习题
答案：1． B 2． y= -3/x(x>0)
最值问题
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