确界原理本质上体现了实数的完备性。
记号与术语
U（a；δ）={x| |x-a|<δ} 点a的δ邻域：以a为中心，δ为半径的开区间。
U0（a；δ）={x| 0<|x-a|<δ} 点a的δ空心邻域：以a为中心，δ为半径的开区间，除去了点a。
U （a；δ）={x| 0<=x-a<δ} 点a的δ右邻域：从a到a δ。
U-（a；δ）={x| 0<=a-x<δ} 点a的δ左邻域：从a-δ到a。
U（∞；M）={x| |x|>M} ∞的M邻域：以0为中心，M位半径的闭区间的外部领域。
U（ ∞；M）={x| x>M} ∞的M邻域。
U（-∞；M）={x| x<-M} -∞的M邻域。
max S：数集S的最大值。
min S：数集S的最小值。
有界集：
定义1，
设S是R的一个子集，S不等于空集：
（1）若∃M∈R，使得∀x∈S，x<=M，则称M为S的一个上界，称S为有上界的数集。
（2）若∃L∈R，使得∀x∈S，x>=L，则称L为S的一个下界，称S为有下界的数集。
（3）若S既有上界又有下界，则称S为有界集。
其充要条件为：∃M>0，使∀x∈S，|x|<=M。
（1'）若S不是有上界的数集，则称S无上界。
即，∀M∈R，∃x0∈S，x0>M。
（2'）若S不是有下界的数集，则称S无下界。
即，∀L∈R，∃x0∈S，x0<L。
（3'）若S不是有界的数集，则称S为无界集。
即，∀M>0，∃x0∈S，使得|x0|>M。
确界：
若数集S有上界，则必有无穷多个上界，而其中最小的一个（如果有）具有重要的作用，称为上确界。
同样，若S有下界，最大的下界（如果有）称为下确界。
定义2，
设S是R的一个子集，S不是空集，若η∈R满足：
（i）∀x∈S，x<=η;（ii）∀a<η，∃x0∈S，使得x0>a，
则称η是S的上确界，记作 η=supS.
注1 条件（i）说明η是S的一个上界；（ii）说明比η小的数都不是S的上界；
从而说明η是最小的上界，即上确界是最小的上界。
注2条件（ii）可换成：∀ε>0，∃x0∈S，x0>η-ε。
定义3，
设S是R的一个子集，S不是空集，若ξ∈R满足：
（i）∀x∈S，x>=ξ;（ii）∀b>ξ，∃x0∈S，使得x0<b，
则称ξ是S的下确界，记作 ξ=infS.
注3下确界就是最大的下届。
注3下确界定义中的（ii）可换成：∀ε>0，∃x0∈S，x0<ξ ε。
