理越辩越明 课越论越优，下面我们就来说一说关于杨辉三角有哪些特点?我们一起去了解并探讨一下这个问题吧!
杨辉三角有哪些特点
理越辩越明 课越论越优
——全国优秀课“杨辉三角中的一些秘密”展示现场的辩论与点评
任伟芳（浙江省宁波市鄞州区教育局教研室）
陈碧文（浙江省宁波市鄞州区正始中学）
摘要：通过展示执教教师和评课专家、现场观摩教师的互动交流，讨论如何在课堂教学中，把学生自主探究落在实处，如何在课堂上更好体现数学的文化价值。
关键词：全国优秀课；探究课典范；系列问题；辩论与点评
不久前，浙江省优质课第一名陈碧文老师（以下统称“授课教师”）在参加重庆举行的全国“2014年高中青年数学教师优秀课展示与培训活动”中，用新课程理念设计的探究课“杨辉三角中的一些秘密”得到了评委专家的一致肯定与赞赏，荣获全国一等奖并夺得了大会最优秀选手奖。该课题选自人教A版教材选修2—3第一章后的“探究与发现”。数学探究是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程，因此在课堂模式上采用了探究式教学。大会组委会为了使参会教师更好地熟悉上课教师的教学设计，特别安排15分钟现场展示后的答辩环节。执教者、评委专家和现场教师对课堂上一些疑难与困惑进行了唇枪舌剑的辩论，不时发出阵阵掌声和会意的笑声，答辩与点评精彩纷呈。笔者是该课的指导者和展示活动的参与者，下面把展示现场的辩论和点评整理成文，供大家参考。
一、现场答辩
师1：这节课是一节很漂亮的课，年轻教师选择这样一节课来上，确实很不错。这是一个很难上好的内容，我对于这节课比较感兴趣的地方是数学文化的渗透，从开始一直到最后，都在做这方面的工作。我想请你给大家谈谈这方面的体会。
授课教师：数学文化对于我门中国历史来说是源远流长的，在整个中国历史文化当中，数学史贯穿古今。对现在学生来说，在平时课堂教学中，我们不仅仅要注重数学思维、计算能力的培养（当然这也非常重要），而且还要关注数学文化。在课堂上一些数学文化的渗透能极大地提高学生对数学的兴趣，培养他们数学鉴赏的能力，体会数学的美学价值和数学家的创新精神，这也间接地培养学生的数学思维。在平时上课的时候，我会讲一些小故事，调节一下课堂气氛，学生学习效率也会有很大的提高，数学文化学生都比较感兴趣。
师2：这节课在数学文化上有比较深的渗透，但是有两点我觉得需要思考。第一点，伏羲依据河图演绎了八卦，大禹依据洛书划分了九州，这不是史实，而是传说，传说作为课堂教学内容加以引入，而且讲得如此生动，是否恰当？第二点，河图、洛书出来以后再也不用了，就为了引入一个数阵，然后就开始研究一个特殊的数阵——杨辉三角，这样的教学设计是不是有一点喧宾夺主的感觉？
授课教师：在这节课上我想体现一种历史的传承，事实上，杨辉对于杨辉三角有一个非常深入的研究。另一方面，杨辉又是一个研究幻方的大家，因此，我想在课开始的时候做一个衔接。
师3：我只想在这个展示课堂上给授课教师的课进行一点锦上添花，大家可以畅想一下，从发散性思维和创新思维这方面来讲，不知道你们的学生有没有横向相加得到一些数据，并对这些数据加以研究？我们离开数学之外，感觉到杨辉三角对于生命的意义。例如，换一个角度来看，上面一个1，然后一个1分解成下面两个1，然后再下面分解聚合……从发展的眼光来看，我们自然界中任何生物分解成细胞之后，它们都似乎蕴含着神秘的数字规律，所以数学中的排列组合很贴近生命的规律，这样一个规律的排列，我们可以从数的角度思考挖掘很多东西，这样的遐想可以不作为这节课的核心，但可以作为花絮让学生插上想象的翅膀，它蕴含着一种细胞分裂的数感。还有，我们可以用杨辉三角来解释宇宙的诞生，最开始是一个氢原子，后来开始聚合，产生了新的元素……教学上有好的素材就要好好利用，我们在课堂上要让学生展开联想，提高学生的想象能力，虽然占用了课堂教学的一点点时间，我看还是非常值得的。
师4：你这节课是一节“探究与发现”课，这样的新课型，你设计这节课教学的定位是怎么考虑的？
授课教师：这节课的定位是一节知识拓展类的选修课程，它与必修课程是有所区别的。我的基本想法是在课堂上渗透一些数学中的思维方法，培养学生发现问题、分析问题、处理问题和解决问题的能力，通过这节探究课让学生在这堂课中去收获点什么。课标指出，高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。所以我把单纯的对杨辉三角的研究提升到对一个数阵的研究，学生通过这节课的学习会有一些不同的收获，在以后碰到其他的一些数阵的时候，他们也会有一种处理方式，正所谓授人与鱼，不如授人与渔。
师5：我顺着师3的思路来讲，我们不能在这节课中只停留在视图上面，能不能在构图上面再推进一步？也就是说不仅仅要认识数阵，研究数阵，我们还要学会如何去构造数阵。
授课教师：应该说这节课后面的拓展内容还是非常多的。我在课堂上已经拓展到了分形数学的概念，接下去拓展的话可以从三维数阵的角度，甚至是多维数阵的角度进行拓展。至于构造的话，它可以通过不同的排列、不同的规律去进行构造，事实上要抓住数阵的本质，就是一个数列的二维化过程，课堂上最后一位学生的回答给了我很大的惊喜，他认为数阵与数列是有关联的，并与我讨论了莱布尼茨三角，如果从数列角度去研究的话也会有一系列的性质。因此，对于数阵的构造，我们可以抓住数列的本质，从通项、递推关系与求和等这几方面入手进行研究。
二、小结点评
师4：各位教师，下面我对这节课做一个点评，“杨辉三角中的一些秘密”这节课是人教A版教材选修2-3中一节“探究与发现”内容，它在教材中并不是我们必须要教的内容。今天这堂课的授课教师主要采用了一种合作探究的方式为大家演绎了耳目一新、别具一格的一堂课。这堂课留给大家很多的想法，因为这堂课当中信息量非常多。如果把它梳理一下，有几个特点或者是亮点。第一，这节课的教学设计，教学的定位与我们平时的教学有很大的差异，应该说有很多的新意。第二，刚才我们一位专家也说了，教师在这堂课中渗透了数学的文化，处处有数学文化的影子，从引入到收尾。教师在对教材二次开发过程中挖掘了很多数学史料进行课堂教学，我觉得这样处理很不错。第三，教师在探究教学上面下了功夫，而且下足了功夫。课堂上他把学生分成了六组，让学生分组汇报探究的成果，引导学生横看、侧看、远看、近看杨辉三角，探究到一些鲜为人知的结论，有几个结论实话说当时我自己都不太熟悉。例如，探究出了梯形五个数相加等于隔开一行下面的一个数，这个结论我们不太熟悉。还有一个结论，杨辉三角每一行数字错一位叠加得到11的若干次幂，这个结论也比较隐蔽，当然也包括谢尔宾斯基三角形。探究得到了很多优美的结论，这对学生来说是一件很不容易的事情。教师通过学生的最近发展区设计了这么一个教学起点，让学生探究到这些优美的结论，其实学生不仅仅获得了这些结论，关键是让学生学会了探究的方法，我觉得这是本节课中的一个亮点。第四，教师的课注重了数学的本质，培养学生观察、概括、猜想的能力。整节课知识的容量非常大，信息也比较广，处处引领学生进行探究。我明显地感觉授课教师的课堂教学有足够的高度，这是难能可贵的。
这节课也有一些商榷的地方，包括刚才师2所说的，课堂通过河图洛书引入，而这个内容对我们来说太陌生了，能不能从学生最熟悉的地方来切入新课的教学，这是需要考虑的。另外，在合作交流中组与组之间探究的成果，课堂汇报后，这一组交流的成果，对于研究过的这一组来说是比较熟悉的，而另外几组就不一定很熟悉，教师怎么样在进一步认知过程中让没有经历过探究的那一组也能够理解其他组的那些结论，这是需要我们关注的课题。当然，教师完整授课的光盘我看了，他探究的结论都进行了严密的论证，这点我很赞赏。但是有一点顾虑，研究这块内容的小组有了足够的认识，而没有研究的小组在内容的认知上可能产生一定的困难，在这个问题上我们是不是值得研究呢？
师2：我来补充一点，这节课展现了如何上好一节探究课，为我们提供了很好的教学模式。听课教师可能会有疑虑，授课教师的学生是宁波市正始中学的创新班，他可以做，我们回去后怎么做呢？心理上会有这样的疑虑。据我分析，科学探究课，一是要教学生科学探究的程序和方法，首先要分析，怎么分析学生要知道，如这节课的探究方法是横看、斜看、远看、近看。二是科学探究需要在观察之后大胆猜想、总结规律，得出结论，并进行小心求证，这只是科学探究外在的形。三是科学探究要教的还有一种探索精神，科学探究从某种角度来讲，哪怕这一堂课学生什么结论都没得到，但是我给学生做了探究的体验，科学探究的目的同样也就达到了，因此科学探究还有一个重要目的是让学生经历一个探究的体验过程。
三、结束语
课堂艺术是一门遗憾的艺术，教学设计要考虑到学生的学情、课程标准和数学学科特点等方方面面，俗话说：“理越辩越明，道越论越清”。因此，数学课只有经过不断地锤炼和切磋才能成为真正的优秀课。“2014年高中青年数学教师优秀课展示与培训活动”为一线教师提供了与同行、专家辩论教学理论和实践的教研平台。
参考文献:
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[4]赵绪昌．例谈生成性教学资源的利用策略[J]．中国数学教育（高中版），2012（5）：12-14．
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