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一道椭圆内圆的切线问题的简证
2. 过圆E:
上的任意一点P作切线l与椭圆C:
交于两点A、B,O为坐标原点，证明：OA⊥OB.
原解用Vita定理来求，过程繁琐，下面用参数方程给出优解，并给出一般化垂直的充要条件：
过圆E上的任意一点P作切线l与椭圆C 交于两点A、B,O为坐标原点，则有OA⊥OB
证明：
设圆E上一点M(rcosθ,rsinθ)，则易见直线AB:
此即
①
②
把①代入②可得
显然OA⊥OB
这类模型高考常考，看以下两题：
（2011年北京卷理19）已知椭圆
过点(m,0)作圆x2 y2=1的切线l交椭圆G于A,B两点.
（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（II）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值.
【探源】我们来看天津市2006年的高考压轴题:
（2006年天津卷理22）如图，以椭圆
的中心O为圆心，分别以a和b为半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点F(c,0)(c>b)作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A．连结OA交小圆于点B．设直线BF是小圆的切线．
（1）证明c2=ab，并求直线BF与轴的交点M的坐标；
（2）设直线BF交椭圆于P、Q两点，证明
可以看出: 2011北京卷理19是2006年天津卷理22的引伸和变形.只要删除2006年天津卷理22中的大圆,并设过B点的切线与轴交于即是2011北京卷理19的题型.
1.已知椭圆C:
(a>1) 的右焦点为F(c,0)(c>1) ，点P 在圆O:x2 y2=1 上任意一点（点P 第一象限内），过点P 作圆O 的切线交椭圆C 于两点Q 、R ．
（1）证明：|PQ| |FQ|=a ；
（2）若椭圆离心率为 ，求线段QR 长度的最大值．
解:
2.已知椭圆
（a＞b＞0）经过点M(1,3/2)，其离心率为1/2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l:y=kx m(|k|≤1/2)与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点．求|OP|的取值范围．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题、椭圆的标准方程问题．当研究椭圆和直线的关系的问题时，常可利用联立方程，进而利用韦达定理来解决．
参考本文给出的方法,你能对上述标答的方法进行优化吗?
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