平行线的判定和性质的知识是初中几何的基础内容，这部分知识掌握的好坏关乎整个初中几何知识的成败，所以同学们一定要打好这一基础关，为后续的学习铺平康庄大道。
☞平行线的判定，初一常用的有六种方法:①定义法，同一平面内不相交的两条直线是平行线;②平行于同一条直线的两条直线平行;③两条直线被第三条直线所截，同位角相等，两直线平行;④两条直线被第三条直线所截，内错角相等，两直线平行;⑤两条直线被第三条直线所截，用旁内角互补，两直线平行;⑥在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
☞平行线的性质:两条平行线被第三条直线所截，①同位角相等;②内错角相等;③同旁内角互补.
【题目呈现】
例1.如图，在三角形ABC中，CD⊥AB，E，F，G分别在BC，AB，AC上，且EF⊥AB，∠1=∠2，试判断DG与BC的位置关系，并说明理由.
【分析】观察图形，DG应与BC平行，那么我们假定DG∥BC，看能推出的某些结论是否与已知条件相同，若相同了，则说明假定是正确的，若不相同或与已知矛盾或与某些定理矛盾，则假定是错误的.我们分析一下，若DG∥BC，则可推出，∠2=∠DCB，又∠1=∠2，则∠1=∠DCB，则EF∥DG，则∠BFE=∠BDC，而已知中CD⊥AB，EF⊥AB，则EF∥DG，则∠BFE=∠BDC，所以假定是正确的.另外也可以估计DG∥BC，我们看从条件是否能证出来，那么我们就大脑中搜索证明两线平行的六种方法，再结合图形看如何找具体的关系，应该试着这样考虑:①可证∠AGD=∠ACB(利用同位角相等，两直线平行推出DG∥BC).②可证∠2=∠DCB(利用内错角相等，两直线平行推出DG∥BC).③可证∠ADG=∠ABC(利用同位角相等，两直线平行推出DG∥BC).④可证∠DGC ∠GCB=180°(利用同旁内角互补，两直线平行推出DG∥BC).⑤可证∠GDB ∠DBC=180°(利用同旁内角互补，两直线平行推出DG∥BC).这5种方法脑海中闪过之后，结合条件∠1=∠2，题中有∠2出现，应用第②种方法为好，欲证∠2=∠DCB，则须证∠1=∠DCB，再看条件，CD⊥AB，EF⊥AB，则可推出EF∥DC，则可得到，∠1=∠DCB，这样问題得证.可见，有了方法之后，还看步步结合条件，步步为营，直到解决问题，这是初学者必须掌握的最基本的证明方法.分析完之后，初学者还要掌握正确的书写步骤，大多同学手懒，不写，不想写，有很多同学到了初二，初三也不会写步骤，以致明知该题如何做，考分下来之后不理想，所以我们要多写，勤写，准确写出具体步骤，初一写步骤过关之后，初二初三就轻松得多了，而且几何证明题，能证出来就能写出来.
【解题过程】
解:DG∥BC.理由知下:
∵CD⊥AB，EF⊥AB(已知)，
∴CD∥EF(在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行)，
∴∠1=∠DCB(两直线平行，同位角相等).
又∵∠1=∠2(已知)，
∴∠2=∠DCB(等量代换)，
∴DG∥BC(内错角相等，两直线平行).
【对应练习】
☞1.如图，已知AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分別为D，G，且∠ADE=∠CFG，求证DE∥AC.
2.如图，已知∠ABC=180°一∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于F.
(1)求证:AD∥BC;
(2)若∠1=36°，求∠2的度数.
例2.如图，已知∠1 ∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系.
【分析】估计∠AED=∠C，看通过条件能否推出，欲证∠AED=∠C，须证∠ADE=∠B，(有的同学问，你怎么就知道证∠ADE=∠B呢？其实也可以从其他方面想，因为条件中有∠B=∠3，出现了∠B，所以我先想到利用∠B，也就想到要证∠B=∠ADE，况且∠ADE与∠3是内错角，而条件中也出现了∠3，若能证明了∠ADE=∠3，则就能证明了∠B=∠ADE，这样又须证明AB∥EF，结合条件∠2的出现，又须证明∠2=∠4，而∠1 ∠2=180°，又∠1 ∠4=180°，∴∠2=∠4，∴问题圆满得解.
【解答过程】
解:∵∠1 ∠4=180°(邻补角定义)，
又∵∠1 ∠4=180°(已知)，
∴∠2=∠4(同角的补角相等)，
∴EF∥AB(内错角相等，两直线平行)，
∴∠3=∠ADE(两直线平行，内错角相等).
又∵∠B=∠3(已知)，
∴∠B=∠ADE(等量代换)，
∴DE∥BC(同位角相等，两直线平行)，
∴∠AED=∠C(两直线平行，同位角相等).
例3.如图，已知AB∥DC，∠BAD=∠DCB，说明AD∥BC.
【分析】此题不难，可有的同学不知道要证AD∥BC，需要找哪两个角的关系，若要用"内错角相等，两直线平行“，应该用∠1=∠2，而不能用∠3=∠4，若要用同旁内角互补，两直线平行，应该用∠BAD ∠ABD=180°，或∠ADC ∠DCB=180°，而不能用∠BAD ∠ADC=180°，或∠ABC ∠DCB=180°，换句话说，有的同学不明白，内错角相等推出哪两条线平行;同旁内角互补推出哪两条线平行，或者不明白，两条直线平行，推出哪两个角相等，哪两个角互补.就拿本题来说，AB∥DC，∠3的边AC与∠4的边CA重合，AC是截线∠3的另一边AB与∠4的另一边CD，是被截线，两条被截线平行，只能推出∠3与∠4这一对内错角相等，而推不出∠1=∠2，∠1的边AC虽然与∠2的边CA重合为AC，但∠1的另一边是AD，∠2的另一边是BC，它们两边既不是AB又不是CD，∴AB∥CD只能推出∠3=∠4，可见，两线平行，只能推出与两线有关的角的关系，同样通过两角的关系也只能推出与角有关的线平行，而且是被截线平行，明白了这层关系本题也就解答了.
【解答过程】
解:∵AB∥DC(已知)，
∴∠3=∠4(两直线平行，内错角相等).
又∠1=∠BAD一∠3，∠2=∠DCB一∠4，且∠BAD=∠DCB(已知)，
∴∠1=∠2(等式的性质)，
∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行).
当然本题也可用同旁内角互补证得.
例4.如图，DE⊥AC，∠AGF=∠ABC，∠1 ∠2=180°，试判断BF和AC的关系，并说明理由.
【分析】BF与AC的关系应是互相垂直，题中已有DE⊥AC，则只要推出BF∥DE即可，从图看，应证∠2 ∠3=180°，再结合∠1十∠2=180°，应证∠1=∠3，须证FG∥BC，而又有条件∠AGF=∠ABC，则可得FG∥BC，得证.
【解答过程】
解:BF和AC的关系是互相垂直，理由如下:
∵∠AGF=∠ABC(已知)，
∴GF∥BC(同位角相等，两直线平行)，
∴∠1=∠3(两直线平行，内错角相等).
∵∠1 ∠2=180°(已知)，
∴∠3 ∠2=180°，
∴BF∥DE(同旁内角互补，两直线平行)，
∴∠BFC=∠DEC(两直线平行，同位角相等)，
∵DE⊥AC(已知)，
∴∠DEC=90°(垂直定义)，
∴∠BFC=90°，
∴BF⊥AC(垂直定义).
例5.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，请问:AD和BC平行吗？说明理由.
【分析】AD可能与BC平行，观察条件，∠1=∠2，∠3=∠4，看不出什么，而∠5=∠6，可推出ED∥AB，抓住这一条件就找到了突破口，一直推下去可得到解答，ED∥AB，可得∠3=∠7，而∠3=∠4，∴∠4=∠7，可得AE∥BD，则可得∠2=∠8，而∠2=∠1，则∠1=∠8，∴AD∥BC，得证.
【解答过程】
解:AD与BC平行，理由如下:
∵∠5=∠6(已知)，
∴ED∥AB(内错角相等，两直线平行)，
∴∠3=∠7(两直线平行，内错角相等).
∵∠3=∠4(已知)，
∴∠4=∠7(等量代换)，
∴AE∥BD(同位角相等，两直线平行)，
∴∠2=∠8(两直线平行，内错角相等).
∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1=∠8(等量代换)，
∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行).
也可以这样证，简单写一下，在△AED中，∠2=180°一∠4一∠6，在△ABD中，∠8=180°一∠3一∠5，而∠3=∠4，∠5=∠6，∴∠2=∠8，又∠1=∠2，∴∠1=∠8，∴AD∥BC.
【总结】相交线与平行线这部分知识一般不难，注意平行线的判定与性质的相互运用，通过平行关系，立即推角的关系，通过角的关系联系条件，得到下一组角的关系，再得到下一组线平行，这样相互推证，最终获解，注意书写规范，图果关系明确，推证合理.
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