几何三角形是初中的课程,向量是高中的课程,向量在数学的平面几何、三角函数和物理中有很多应用,可以不用复杂的函数计算及几何图形,非常方便地论证一些基本定理和公式,很多学生不熟悉向量的应用,不明白向量和复数的区别。在此,简单地说明归纳一下,向量是有大小和方向的,复数(含虚部)是有方向,但是没有大小的。

下面,将几何三角形四心与向量的对应公式及充分必要性地论证分析下,这样,可以对向量的应用有个清晰的认识:

1.O是三角形ABC重心的充要条件是:

平面向量与三角形垂心公式证明(几何三角形四心对应的向量公式及证明)(1)

2.O是三角形ABC(非直角三角形)垂心的充要条件是:

平面向量与三角形垂心公式证明(几何三角形四心对应的向量公式及证明)(2)

3.O是三角形ABC外心的充要条件是:

平面向量与三角形垂心公式证明(几何三角形四心对应的向量公式及证明)(3)

4.O是三角形ABC内心的充要条件是:

平面向量与三角形垂心公式证明(几何三角形四心对应的向量公式及证明)(4)

平面向量与三角形垂心公式证明(几何三角形四心对应的向量公式及证明)(5)

若O是的内心,则:

平面向量与三角形垂心公式证明(几何三角形四心对应的向量公式及证明)(6)

5.三角形ABC其它向量公式:

平面向量与三角形垂心公式证明(几何三角形四心对应的向量公式及证明)(7)

平面向量与三角形垂心公式证明(几何三角形四心对应的向量公式及证明)(8)

平面向量与三角形垂心公式证明(几何三角形四心对应的向量公式及证明)(9)

平面向量与三角形垂心公式证明(几何三角形四心对应的向量公式及证明)(10)

平面向量与三角形垂心公式证明(几何三角形四心对应的向量公式及证明)(11)

平面向量与三角形垂心公式证明(几何三角形四心对应的向量公式及证明)(12)

平面向量与三角形垂心公式证明(几何三角形四心对应的向量公式及证明)(13)

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