由于基向量的改变会得到新的向量，这个过程我们用矩阵和向量的乘法来表示，这也是矩阵和向量乘法的本质。我们举个例子再强化理解一下这个过程。如图1所示，基向量i=(1,0)，基向量j=(0,1)。向量v=(1,2)，注意这里对数字1和2 的理解，按照中学阶段的一般理解，这个1和2分别表示向量v的终点向x轴和y轴作垂线，在x轴上的垂足为1，在y轴上的垂足为2，但是在线性代数中，这里的1和2是标量，分别表示对基向量i和j的缩放倍数。
图1
现在基向量i由（1,0）变成（1,1）,基向量j由（0,1）变成（-1，-2），如图2所示。因为基向量的改变导致原先的向量v也发生了改变，这个改变仅仅是因为基向量发生改变，而基向量的伸缩倍数是不变的，多次强调这个观点，非常重要。于是改变后的v=1i 2j=1(1,1) 2(-1,-2)=(-1,-3)。
图2
,
