multivariable calculus 多元微积分是麻省理工一门著名公开课，课号为18.02。这门课覆盖了微分，积分，向量的多元微积分，在物理学，工程学，计算机学，经济学等领域有着广泛的应用。五分钟MIT公开课将公开课的重要有趣的知识点进行总结，在短时间内可以掌握一门课程的核心知识。
基础向量是一个既有大小又有方向的量。With both direction and magnitude/length。通过带箭头的直线将向量直观的表示出来。引入空间直角坐标系和单位向量是向量间计算的基础。
Pythagorean theory： 毕达哥拉斯定理，勾股定理
向量的长度：通过勾股定理，向量两边加绝对值符号 |a|
向量的加法：
向量是头尾加法，同一方向可以进行标量加法。
Dot Products 点积／点乘两个向量点乘，结果是标量。几何的角度考虑可以计算两个向量的夹角，以及在某一方向上的投影。
定义：
点积的几何意义：向量在同一方向上投影的积
证明：
根据余弦定理：
得到：
-
计算长度和角度
计算向量的角度的时候，先算出来的是cos，有趣的是cos的符号
sign>0，锐角
sign<0，钝角
sign=0，直角
-
检测正交
x 2y 3z=0的点集是什么形状? 平面
-
计算向量的分量，例如计算悬挂摆，分解力
如何计算几个向量围成的面积?三角形的面积怎么计算？
奇妙的是，这和底乘高的得到结果一样。再算出余弦，带入，会很麻烦。
下面的内容会非常有趣：
考虑两个相差90度的向量a和a'
发现行列式代数上是余向量的点积，几何上行列式的绝对值是向量所围成的面积。
Area=abs value of det.
空间行列式高维行列式计算方法，扩展：奇正偶负。正负是因为改变了空间的方向。
几何学上，三维行列式就是长方体体积的加减。
Cross product 叉乘考虑三维空间的两个向量
定义：
叉乘的结果是个向量。
叉乘的大小等于两向量围成平行四边形的面积
叉乘的方向垂直与两向量所在平面
垂直向量的判断方式为右手法则
右手指向向量A的方向
手指指向向量B的方向
竖起大拇指，拇指方向为叉乘方向
例子：
关于空间体积的一些观点
补充
Equation of planes 平面的方程
这一节主要讲的是叉乘的应用。
如何已知三点构成的平面，和另外一个点P，如何确定点P在这个平面上。
一个方法是：
带入 P(x,y,z)
就得到平面的方程。
另一个方法：如果P在平面上则可以推出
向量n是平面的法向量（normal vector）。
最后得到了一个我们很熟悉的公式，也是计算体积的公式：
这个形式在向量计算中有个别名，叫做三重积（Triple product），和行列式是一回事。
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