导数的结果应该是严格的特定的0/0——如欧拉所言（4）（续7月4日稿），下面我们就来说一说关于导数的概念有八个?我们一起去了解并探讨一下这个问题吧!
导数的概念有八个
导数的结果应该是严格的特定的0/0——如欧拉所言（4）（续7月4日稿）
4 关于(0／0)的思考
4.1 初等数学以及代数中不允许(0／0)的规定是正确的
在初等数学以及代数中，不允许0做分母，尤其不能允许０÷０。为什么？其实道理很简单，说明如下。
在乘法运算中，有一个规定：任意数
m×0=0。 (m≠0) （4.1.1）
于是有
m×0=0=n×0 (m≠0，n≠0) （4.1.2）
（因为二者都等于零，虽然m一般不等于n）。
现在我们用０同时除以（4.1.2）的两侧，即
(m×0) /0=0/0= (n×0) /0 （4.1.3）
按照除法的规定，我们应该把等式两边的分子与分母的０约掉。而因为无法区别分子的0和分母的0有没有差别，所以我们应该也只能认为这些0都是相等的。于是从（4.1.3）我们得到：
m=1=n （4.1.4）
这个结果显然是非常荒谬的。
（4.1.1）开始，到（4.1.4）的结果，在哪里的运算出现了错误呢？
显然，从（4.1.1）到（4.1.2），以及从（4.1.2）到（4.1.3）的运算的结果都是正确的。
错误肯定是在从（4.1.3）到（4.1.4）。
可是在算术中，已经规定：
a÷a = 1 (4.1.5)
现在上面的运算结果则提示我们，在（4.1.5）的除法规定中有例外，即必须规定:
a ≠ 0 （4.1.6）
于是数学家认识到，只有在a ≠ 0, (4.1.5)才成立，并且统一规定：在数学中绝对不允许(0／0)。
至于有限数m 除以0，结果只能是无穷大。显然没有什么实际意义。
因此在初等数学以及代数中0不允许做分母的规定是完全正确的。这是一个正确的规定，是一个真理。
4.2 “极限回避”源于形式逻辑的三段式推理
“极限回避”显然源于此。详细些说，它源于形式逻辑中的三段式推理：
①（大前提）在以前的数学中已经证明了除法运算中(0／0)是不合理的，不能允许；
②（小前提）求导数的运算中出现了(0／0)：
③（结论）2中的运算有问题，不能允许。
根据形式逻辑，上面的三段式推理当然是正确的。于是“回避”的说法应运而生（幽默一下，使人想起“三十六计，走为上计”）。
但是三段式推理不管、也管不了大前提。而按照唯物辩证法，应该全面地、联系地、发展地看问题。因此首先应该研究的恰恰是这个推理的大前提是否正确。其实我们不难理解：代数中的不允许0/0的结论乃是在一定的条件下得出的，因此是相对真理。根据唯物辩证法的真理观，它不是、也不可能是绝对真理。
4.3 微积分中允许dy/dx=0/0=… 是正确的
本节的讨论已经说明了Δx→0的含义是Δx逐渐趋近并且最终等于0。同时随着Δx→0的过程，Δy也逐渐趋近并且最终等于0。但是不论从计算中，还是从图象中，我们都发现它们趋近并且最终等于的不是同一个0 ,它们各自趋近的是不同的0。Δx→0表示的是自变量的变化量（即x1-x）逐渐趋近并且最终等于0，我们不妨称它为基准0或自变量0，或者干脆称之为自变量单子（关于单子概念的解释请看§4中的说明）dx；相应的Δy→0表示的则是函数的变化量（即y1-y）（y1的1是y的下标。下面相同。）逐渐趋近并且最终等于0，可以称之为函数的变化量0即函数单子，在抛物线的情况下是 2axdx。所以在大多数情况下，这两个0确实是不相等的。换句话说，dy、dx乃是代表新关系的、由原函数派生出的单子。于是一方面由于它们都是单子即点，自然dy=0,dx=0，即它们确实都是0。但是另一方面，由于dy是从原来的函数派生出来的，而dx则是由原来的自变量派生出来的，所以这两个单子即点并不一定相等。从图象中很容易看出，它们各自趋向不同的点，即不同的0。它们的比值就是原函数的可导点处的导数。这证明了点有大小。如果考虑到曲线的积分元即积分单子ds，更容易发现“点”确实有大小。所以欧拉的意见是正确的，0确实可以有大小。微积分中的点不同于初等几何中的点。
求导数的运算中出现的dy/dx=0/0=… 是从有限量的运算推出的，在开始的时候借助了代数学。但是它依据的是连续量，得出的是依赖于原函数、反映原函数内部关系的、只等于确定的数值的特定的（0/0）。此（0/0）非代数中的（0/0），二者完全是两回事。所以这里的（0/0）也是正确的，应该允许它存在。这个时候微积分已经进入了自己的“领地”。当然这里允许的（0/0）也是相对真理。在本节中的例子中出现的导数dy/dx=（0/0）=2ax说明的是在Δy随Δx的消失而消失的时候，即在每一个可导点处，变量x的函数y对变量x的依赖关系依然存在。现在已经很显然，2ax是原函数隐含的内在的新关系的有意义的项，而aΔx则是在 Δx≠0的情况下引出的误差。于是dy/dx=0/0=2ax这一等式说明的是在Δy随Δx的量的消失而消失的时候，即在每一个可导点处，变量x的函数y对变量x的依赖关系依然存在。
可是，我们无法在（0/0）中看出这一点，还会引起混乱（事实上它已经引发了数百年的争论）。也许，一个可行的办法是把分母的0和分子的0分别标志为函数增量0（0y）和自变量增量0（0x）。可是，莱布尼茨聪明地利用dx代替消失了的Δx，而随Δx的消失而消失了的Δy自然应该变成dy（用马克思的话说则是：特定的（0/0）穿上了节日的制服）。毫无疑问，dy和dx的值都是0。恰恰因为如此，导数的准确值才代替了预备导函数中的近似值。[19]
在本文中，我们是以函数y=ax^2为例进行讨论的。但是毫无疑义，它的结论——导数这一新关系乃是隐含于原函数中的新关系——可以很容易地推广到其他可导函数地求导运算中，因而是普遍适用的。马克思明确地指出了这一点[20]。
求导数的运算已经公式化了。现在我们对这些公式可以有进一步的、更明确的理解。例如：
y=ax^n （4.3.1）
则
dy/dy=f‘（x）=anx^(n-1)。 （4.3.2）
它也可以表示为
0y/0x=f‘（x）=anx^(n-1)。 （4.3.3）
把这两种表示法比较一下，当然是利用dy/dx表示更好，因为由此我们容易认出这是微积分的运算，不是代数运算。只是由于这个做法确实太聪明了，确实太“高”了，以致三百多年了，数学家还没有认识到它们所代表的虽然都是0，但却不是相同的0。如此而已。
4.4 有限个函数之和的导数以及常数的导数
本书不是微积分的教科书，所以不详细介绍全部的求导运算及其公式。只是为了本书第六讲的需要，介绍有限个函数代数和的导数，以及常数的导数。
4.4.1 有限个函数代数和的导数
求有限个函数代数和的导数很简单，利用求导的四个步骤运算就可以得出。
设函数
y=u v-w
其中u、v、w都是x的函数。按照一般法则，我们得出：
第一步 y △y=u △u v △v-w-△w
第二步 △y=△u △v-△w
第三步 △y/△x=△u/△x △v/△x-△w/△x
因为
lim（△u）/(△x)=du/dx (△x→0)，lim（△v）/(△x)=dv/dx (△x→0)，
lim（△w）/(△x)=dw/dx (△x→0)，
所以得出：
第四步 dy/dx=du.dx dv/dx dw/dx
所以，对于数目给定的、有限个函数的代数和来说，它的导数等于各个函数的导数的代数和。
4.4.2 常数的导数为0
设c为常数，则下面的函数
y=c
表示常数。很显然，当自变量x 变化而增量为△x的时候，函数y的数值没有变化，即
△y=0，故
△y/△x =0
因此得到
lim（△y）/△y=0(△x→0)，
但是
lim（△y）/△y=dy/dx(△x→0)
因此
dc/dx=0
4.4部分主要参考了〈前苏联〉鲁金《微分学》（谭家岱 张理京译 高等 教育出版社 1954年上海第1版 ）第八章§63,§65.即135-137。
（未完待续。注释在明天一起发表。）
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