高中数学必背公式、常用结论
一．二次函数和一元二次方程、一元二次不等式
1．二次函数
的图象的对称轴方程是
，顶点坐标是
。
2.实系数一元二次方程
的解：
①若
,则
;
②若
,则
;
③若
，它在实数集
内没有实数根；在复数集
内有且仅有两个共轭复数根
.
3.一元二次不等式
解的讨论:
|
|
|
| |
|
二次函数
（
）的图象 | |||
|
一元二次方程
|
有两相异实根
|
有两相等实根
|
无实根 |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
二、指数、对数函数
1．运算公式
⑴分数指数幂：
；
（以上
，且
）.
⑵.指数计算公式：
；
；
⑶对数公式：①
； ②
；
③
； ④
.
⑷.对数的换底公式:
.对数恒等式:
.
2．指数函数
的图象和性质
|
a>1 |
0<a<1 | ||
|
图 象 |
|
| |
|
性 质 |
(1)定义域：R | ||
|
（2）值域：（0， ∞） | |||
|
（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1 | |||
|
(4)x>0时，y>1;x<0时，0<y<1 |
(4)x>0时，0<y<1;x<0时，y>1. | ||
|
（5）在 R上是增函数 |
（5）在R上是减函数 | ||
3．对数函数
的图象和性质
三．常见函数的导数公式:
1． ①
；②
；③
；④
；
⑤
；⑥
；⑦
；⑧
。
2．导数的四则运算法则：
3．复合函数的导数：
四．三角函数相关的公式：
1．⑴角度制与弧度制的互化：
弧度
，
弧度，
弧度
⑵弧长公式：
；扇形面积公式：
。
2．三角函数定义:角
终边上任一点（非原点）P
,设
则：
3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全s t c”）
4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”
5．⑴
对称轴：令
，得
对称中心：
；
⑵
对称轴：令
，得
；对称中心：
；
⑶周期公式:①函数
及
的周期
(A、ω、
为常数，
且A≠0).②函数
的周期
(A、ω、
为常数，且A≠0).
6．同角三角函数的基本关系：
7．三角函数的单调区间及对称性：
⑴
的单调递增区间为
,单调递减区间为
，对称轴为
,对称中心为
.
⑵
的单调递增区间为
,单调递减区间为
，
对称轴为
,对称中心为
.
⑶
的单调递增区间为
，对称中心为
.
8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
①
；
；
.
②
；
.
③
=
(其中,辅助角
所在象限由点
所在的象限
决定,
).
9．二倍角公式：①
.
②
（升幂公式）.
（降幂公式）.
10．正、余弦定理：
⑴正弦定理：
（
是
外接圆直径 ）
注：①
；②
；③
。
⑵余弦定理：
等三个；
等三个。
11.几个公式:⑴三角形面积公式：①
（
分别表示a、b、c边上的高）；②
.
五。立体几何
1.表（侧）面积与体积公式：
⑴柱体：①表面积：S=S 2S；②侧面积：S=
；③体积：V=Sh
⑵锥体：①表面积：S=S S；②侧面积：S=
；③体积：V=
Sh：
⑶台体：①表面积：S=S
S;②侧面积：S=
;③体积：V=
（S
）h；
⑷球体：①表面积：S=
；②体积：V=
.
2．空间中平行的判定与性质：
1）、直线和平面平行：
定义：若直线与平面没有公共点，则直线与平面平行。
判定定理：若a
,
且a‖
,则a‖
； 若
且
则有
性质定理：a‖
.且
则
2）、平面与平面平行的判定与性质：
定义：如果两个平面没有公共点则称两个平面平行。
判定定理：若
则
。
若
且
则
。
性质定理：若
则有a‖b
3．空间中垂直的判定与性质：
1）、直线与平面垂直：
定义：设
为平面
内的任意一条直线，
，则
。
判定定理：若
，且
，则
。
若
则
性质定理：若
，
则
。
2）、平面与平面垂直：
定义：如果两个平面所成的二面角的平面角为
，则称这两个平面互相垂直。
判定定理：若
，
，则有
。
性质定理：若
且
，则
。
若
则
。
六．解析几何：
1．斜率公式：
，其中
、
.
直线的方向向量
，则直线的斜率为
=
.
2.直线方程的五种形式：
(1)点斜式：
(直线
过点
，且斜率为
)．
(2)斜截式：
(
为直线
在
轴上的截距).
(3)两点式：
(
、
，
).
(4)截距式：
(其中
、
分别为直线在
轴、
轴上的截距，且
).
(5)一般式：
(其中A、B不同时为0).
3．两条直线的位置关系：
（1）若
，
,则：
①
∥
,
； ②
.
（2）若
,
,则：
①
且
；②
.
4．求解线性规划问题的步骤是：
（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。
5．两个公式:
⑴点P（xy）到直线Ax By C=0的距离：
；
⑵两条平行线Ax By C=0与 Ax By C=0的距离
6．圆的方程：
⑴标准方程：①
；②
。
⑵一般方程：
（
注：Ax Bxy Cy Dx Ey F=0表示圆
A=C≠0且B=0且D E－4AF>0
⑶参数方程：
7．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。
8．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）
⑴点与圆的位置关系：（
表示点到圆心的距离）
①
点在圆上；②
点在圆内；③
点在圆外。
⑵直线与圆的位置关系：（
表示圆心到直线的距离）
①
相切；②
相交；③
相离。
⑶圆与圆的位置关系：（
表示圆心距，
表示两圆半径，且
）
①
相离；②
外切；③
相交；
④
内切；⑤
内含。
9．直线与圆相交所得弦长
10.椭圆、双曲线、抛物线
|
椭圆 |
双曲线 |
抛物线 | ||
|
定义 |
1．到两定点F,F的距离之和为定值2a(2a>|FF|)的点的轨迹 |
1．到两定点F,F的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|FF|)的点的轨迹 | ||
|
2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0<e<1） |
2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e>1） |
与定点和直线的距离相等的点的轨迹. | ||
|
图形 | ||||
|
方 程 |
标准方程 |
(
>0) |
(a>0,b>0) |
y=2px |
|
参数方程 |
|
|
(t为参数) | |
|
范围 |
─aundefinedxundefineda，─bundefinedyundefinedb |
|x| undefined a，yundefinedR |
xundefined0 | |
|
中心 |
原点O（0，0） |
原点O（0，0） | ||
|
顶点 |
(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) |
(a,0), (─a,0) |
(0,0) | |
|
对称轴 |
x轴，y轴； 长轴长2a,短轴长2b |
x轴，y轴; 实轴长2a, 虚轴长2b. |
x轴 | |
|
焦点 |
F(c,0), F(─c,0) |
F(c,0), F(─c,0) |
| |
|
焦距 |
2c （c=
） |
2c （c=
） | ||
|
离心率 |
|
|
e=1 | |
|
准线 |
x=
|
x=
|
| |
|
渐近线 |
y=±
x | |||
|
焦半径 |
|
|
| |
|
通径 |
|
|
2p | |
|
焦参数 |
|
|
P | |
七．等差、等比数列：
|
等差数列 |
等比数列 | ||
|
定义 |
|
| |
|
通项公式 |
=
（n-1）d=
（n-k）d=
-d |
| |
|
求和公式 |
|
| |
|
中项公式 |
A=
推广：2
=
|
。推广：
| |
|
性质 |
1 |
若m n=p q则
|
若m n=p q，则
。 |
|
2 |
若
成A.P（其中
）则
也为A.P。 |
若
成等比数列 （其中
），则
成等比数列。 | |
|
3 |
．
成等差数列。 |
成等比数列。 | |
|
4 |
|
，
| |
2．看数列是不是等差数列有以下三种方法：
①
；②2
(
)
③
(
为常数).
3．看数列是不是等比数列有以下2种方法：
①
；②
(
，
)
4．数列{
}的前
项和
与通项
的关系：
5. 常用公式：①1 2 3 … n =
；②
；
③
；④
； ⑤
八。复数
1.复数的四则运算法则：
(1)
;(2)
;
(3)
;
(4)
.
2.复平面上的两点间的距离公式 ：
（
，
）.
3．几个重要的结论：
；⑶
；⑷
⑸
性质：T=4；
；
4．模的性质：⑴
；⑵
；⑶
。
九。向量
|
运算类型 |
几何方法 |
坐标方法 |
运算性质 |
|
加 法 |
1.平行四边形法则 2.三角形法则 |
|
|
|
减 法 |
三角形法则 |
|
,
|
|
数 乘 向 量 |
1.
是一个向量,满足:
2.
>0时,
同向;
<0时,
异向;
=0时,
. |
|
|
|
向 量 的 数 量 积 |
是一个数 1.
时，
. 2.
|
|
|
2.重要定理、公式
(1)平面向量基本定理
e，e是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ，λ，使a＝λe＋λe.
(2)两个向量平行的充要条件：
∥
=λ
；
(3)两个向量垂直的充要条件：
(
)
·
=0
九．不等式
1.不等式的基本性质
（1）
（对称性）；（2）
（传递性）
（3）
（加法单调性）
（4）
（同向不等式相加）；
（5）
（异向不等式相减）
（6）
；（7）
（乘法单调性）
（8）
（同向不等式相乘）；
（异向不等式相除）
（倒数关系）；（11）
（平方法则）
（12）
（开方法则）
2．均值不等式：
注意：①一正二定三相等；②变形：
。
3．极值定理：已知
都是正数，则有：
(1)如果积
是定值
，那么当
时和
有最小值
；
(2)如果和
是定值
，那么当
时积
有最大值
.
十．概率和统计：
1．概率
⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A B)=P(A) P(B)；
⑵古典概型：
；
⑶几何概型：
；
2．总体特征数的估计：
⑴样本平均数
；
⑵样本方差
；
⑶样本标准差
=
3．相关系数（判定两个变量线性相关性）：
注：⑴
>0时，变量
正相关；
<0时，变量
负相关；⑵当
越接近于1，两个变量的线性相关性越强；当
越接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
4． 回归直线方程
，其中
十一。理科选修部分
1．排列、组合和二项式定理：
⑴排列数公式:
=n(n-1)(n-2)…(n-m＋1)=
(m≤ n, m、n∈N*),
当m=n时为全排列
=n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1= n!
⑵组合数公式：
=
=
=
(
，
∈N，且
)
⑶组合数性质：
⑷二项式定理：
①通项：
②注意二项式系数与系数的区别
2．随机变量
⑴随机变量的分布列：①随机变量分布列的性质：p≥ 0, i=1,2,3，…； p p …=1;
②离散型随机变量：
|
X |
x |
X |
… |
X |
… |
|
P |
P |
P |
… |
P n |
… |
均值（又称期望）：EX＝ xp xp … xp … ;
方差：DX＝
;
注：
；
③二项分布（独立重复试验）：若X～B（n , p）,则EX＝n p, DX＝n p（1- p） 注：
。
⑵条件概率：称
为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。注：0
P（B|A）
1
⑶独立事件同时发生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。
⑷正态总体的概率密度函数：
式中
是参数，分别表示总体的平均数（期望值）EX与标准差
；
正态曲线的性质：①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，关于直线x＝
对称；③曲线在x＝
处达到峰值
；④曲线与x轴之间的面积为1；
1当
一定时，曲线随
值的变化沿x轴平移；
2当
一定时，曲线形状由
确定：
越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越分散；
越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越集中。
注：P
=0.6826；P
=0.9544
P
=0.9974
W8YOgbgahhh2
,
