1. 用配方法求距离的最值
例1. 如图1，正方形ABCD、ABEF边长都是1，且平面ABCD、ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若
。试求当a为何值时，MN的值最小。
图1
分析：此题的解题关键是想用含a的代数式表示距离，再用配方法求最值。
解：过M作
，垂足为H，连结NH，如图1所示。在正方形ABCD中，
，所以
，因为平面
平面AE，所以
平面AE，即
。因为
，所以
即
，
，由余弦定理求得
。所以
当
时，
，即M、N分别移到AC、BF的中点时，MN的值最小，最小值为
2. 结合实际找最值位置
例2. 在一张硬纸上，抠去一个半径为
的圆洞，然后把此洞套在一个底面边长为4，高为6的正三棱锥
上，并使纸面与锥面平行，则能穿过这张纸面的棱锥的高的最大值是________。
图2
解：如图2所示，假设硬纸上的圆洞刚好卡在B'C'D'处。设正三棱锥的顶点A在平面BCD上的射影为A'，在平面B'C'D'上的射影为O。
连结BA'、B'O并延长分别交CD、C'D'于E、E'点，则
平面
平面BCD，所以
，
，即
。又因为
，所以
又
，所以
，即能穿过这张纸面的棱锥的高的最大值是
。
3. 利用函数的有界性求体积最值
例3. 如图3，已知在
中，
，
平面ABC，
于E，
于F，
，
，当
变化时，求三棱锥
体积的最大值。
图3
解：因为平面ABC
平面ABC，所以
又因为
，所以
平面PAC，又
平面PAC，所以
，又
，所以
平面PBC，即
。
EF是AE在平面PBC上的射影，
因为，
所以
，即
平面AEF。
在三棱锥中，
，所以
，
因为
，所以
因此，当
时，
取得最大值为
。
4. 结合图形列方程求解。
例4. 棱长为2cm的正方体容器盛满水，把半径为1cm的铜球放入水中刚好被淹没，然后再放入一个铁球，使它淹没水中，要使流出来的水量最多，这个铁球的半径应该为多大？
图4
解：过正方形对角线的截面图如图4所示。
，
设小球的半径为r。
在
，
，所以
，解得
，为所求。
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