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流体力学水力学2
五、理想流体的研究（18世纪）
1）18世纪研究概述
人们对自然界的研究一般是从简单开始的，逐渐过渡到复杂情况；就流体力学的发展而言，也是如此。为了化繁为简，18世纪的科学家做了很多的简化。那时人们认为像水和空气这样的流体，黏性很小，对阻力的贡献可以忽略；将流体都看作是理想流体，不考虑流体内部的黏性。
18世纪，伯努利、欧拉、克莱洛（1713-1765，法国数学家，1734年提出克莱洛方程，1738年，克莱洛根据离心力加速度、赤道重力和两极重力推算出地球扁率的关系式，即“克莱洛定理”，法国科学院院士）等人正式将流体力学作为一个分支学科。拉格朗日和拉普拉斯也为不可压缩流体无旋流动做出了贡献。
2）伯努利原理的提出
伯努利原理的提出者是瑞士人丹尼尔·伯努利，他用能量守恒定律解决流体的流动问题。1726年他在研究理想液体作稳定流动时提出了伯努利原理并建立了“伯努利方程”，是流体动力学的基本方程，它反映了理想液体作稳定流动时，压强、流速和高度三者之间的关系。该方程在确定流体内部各处的压力和流速有很大的实际意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。
他还发现了“边界层表面效应”：流体速度加快时，物体与流体接触的界面上的压力会减小，反之压力会增加；称为“伯努利效应”。飞机机翼的上表面是流畅的曲面，下表面则是平面。这样，机翼上表面的气流速度就大于下表面的气流速度，所以机翼下方气流产生的压力就大于上方气流的压力。这个压力产生的力量是巨大的，空气能够托起沉重的飞机，就是利用了伯努利效应；这个压力的大小可以用伯努利方程去计算。
伯努利在流体力学中建立的“伯努利方程”及“内压”概念是有漏洞的，他的父亲约翰和好友欧拉在这方面作了改进。1752年，欧拉推导出了伯努利原理的一般表达式，但这个方程式只能描述流体沿着流线的变化规律，而复杂几何体周围的流线也是异常复杂的，所以很难通过其求解一般几何体的受力问题。
3）欧拉方程组
瑞士人欧拉奠定了理想流体（假设流体不可压缩，且其粘性可忽略）的运动理论基础，给出反映质量守恒的连续性方程（1752年）和反映动量变化规律的流体动力学方程（1755年）。他曾用两种方法来描述流体的运动，即分别根据空间固定点（1755年）和根据确定流体质点（1759年）描述流体速度场；这两种方法通常分别称为“欧拉表示方法”和“拉格朗日表示法”；目前流体力学一般用欧拉法描述流体的流动。
欧拉在1757年获得了伯努利方程的更广义的形式，即欧拉方程组。他采用了连续介质的概念，把静力学中压力的概念推广到运动流体中，建立了欧拉方程组，正确地用微分方程组描述了无黏流体的运动。欧拉方程组这个在欧拉和伯努利通信中诞生的方程，竟在无意中打开了理想流体力学的大门。
严格来说，欧拉方程组只包含两个方程，一个动量守恒方程和一个质量守恒方程，包含了从阿基米德到1757年近两千年来人类对流体力学的所有认知，充分地体现了物理学的简洁美。欧拉方程至今仍应用于空气动力学和水波等理论，它是理想无黏流体的基本方程。
欧拉方程表明，由液体的内部压力可以模拟液体微粒的运动方式，反过来由速度也可以解出内部压力。而遗憾的是，由于是非线性方程，欧拉方程组在提出之时是没有办法求解的，欧拉自己也没有获得这个方程组的一般解，即使用今天的电子计算机来求解也很困难。伯努利方程可由欧拉方程做出化简后积分得到。
4）流体力学学科的正式形成
“欧拉方程”和“伯努利方程”的建立，是流体力学成为一个分支学科的标识，从此开始了用微分方程和实验测量进行流体运动定量研究的阶段。这个时期科学巨匠们的研究成果此起彼伏，不断推动流体力学的进展。欧拉和伯努利是流体力学研究中的理论派；此外还有拉格朗日和拉普拉斯，他们对于理想流体也作出了巨大贡献。
法国人拉格朗日主要研究流体的无旋运动，继欧拉之后，他也研究过理想流体的运动方程，并最先提出速度势和流函数的概念，成为流体无旋运动理论的基础。他从动力学普遍方程导出流体运动方程，着眼于流体质点，描述每个流体质点自始至终的运动过程，这种方法现在称为“拉格朗日法”，以区别着眼于空间点的“欧拉法”。
而拉普拉斯也在流体的无旋运动方面做了贡献。1799年他提出了大名鼎鼎的拉普拉斯方程，这是表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式，是不可压缩流体无旋流动的连续性方程；该方程至今仍在广泛运用。
在十八世纪末期的研究当中，人们渐渐发现欧拉方程组可以拆分成两个更简洁的方程式进而分别求解，即伯努力方程和拉普拉斯方程。拉普拉斯在提出这组方程的时候已经指出了方程的解是一种特殊的函数，即调和函数。同时他还指出所有拉普拉斯方程的看似复杂的解空间其实是由几种调和函数线性叠加而成的。科学家们通过复变函数理论作为工具求解了拉普拉斯方程，从而顺利地将关于圆柱绕流的欧拉方程解决了。与伯努利方程类似，它也是欧拉方程的另一个简化版。
5）18世纪研究特点
欧拉、伯努利被公认为是18世纪理论流体力学的代表性人物，其中伯努利被称为“流体力学之父”。尽管欧拉、伯努利等人做了很多努力，但由于没有考虑牛顿提出的流体黏性，无法阐明流体中黏性的影响，理论结果与实验结果相去甚远，而过于精细的方程又无法求解。
现实生活中不存在无黏性的流体，即使黏性非常小的流体，对其中运动的物体都会起重要的作用，因为黏性会使流体在物体表面产生切向应力，即摩擦阻尼；后来普朗特提出的“边界层理论”较好地解释了阻力产生的机制。总之，18世纪的研究主要是针对理想流体，不考虑流体的黏性。
六、流体力学研究的高潮期（19世纪）
在科学研究中，流体力学家们逐渐分化成了两派：支持继续进行纯理论推导的流体理论派和支持采用半理论半实际测量的实验派。两派相互争辩，共同促进了流体力学的进步。
1）对气体的研究
大约在1787年，法国人查理通过实验研究气体的膨胀性质，发现在压力一定的时候，气体体积的改变和温度的改变成正比。查理没有发表他发现的这个结论，而是由盖·吕萨克参考他的研究结果后于1802年发表了“气体质量和压强不变时体积随温度作线性变化的定律，即V1/T1=V2/T2”，叫做盖·吕萨克定律。
查理进一步发现，对于一定质量的气体，当体积不变的时候，温度每升高l℃，压力就增加它在0℃时候压力的1/273；即P = P0(1 t/273)。后来，物理学上就把气体质量和体积不变时压强随温度正比变化的定律叫做查理定律，数学形式为：P1/P2=T1/T2。他还推算出气体在恒定压力下的膨胀速率是个常数；这个预言后来由盖·吕萨克和英国人道尔顿的实验完全证实。
1834年，法国人克拉佩龙将波义耳、马略特、查理和盖·吕萨克的工作结合起来，把描述气体状态的三个参数：压强、体积和温度归于一个方程；即一定量气体，体积和压力的乘积与热力学温度成正比，被称为克拉佩龙方程，确定了纯物质在气液两相平衡时的压力与温度间的关系；这就是著名的理想气体状态方程：PV=nRT，n为物质的量，R是气体常量，约为8.31441±0.00026J/(mol·K）。
理想气体状态方程也叫做普适气体定律，是由研究低压下气体的行为导出的。但各气体在适用理想气体状态方程时多少有些偏差；压力越低，偏差越小，在极低压力下理想气体状态方程可较准确地描述气体的行为。
总之，19世纪对气体的研究取得了重大进展，压力、体积、温度和物质的量之间的关系弄明白了，适用于日常绝大多数低压情况；这对于流体力学的进一步发展尤其是空气动力学的研究奠定了坚实的理论基础。
2）N-S方程组的提出
19世纪，工程师们为了解决许多工程问题，尤其是要解决带有黏性影响的流体问题。于是他们部分地运用理论，部分地采用归纳实验结果的半经验公式进行研究，这就形成了水力学，是流体力学的一个组成部分。
18世纪中期，法国人达朗贝尔就曾按照牛顿的研究思路，用水中的船只作了实验，证明了流体中的黏性阻力与物体运动速度成平方关系；他被认为第一次引入了流体速度和加速度分量的概念。1822年，法国人纳维推广了欧拉方程，他考虑了分子间的作用力，最早使用了微分方法建立了不可压缩黏性流体平衡和运动的基本方程，方程中只含有一个黏性常数。
1845年，英国人斯托克斯从连续统的模型出发，引入两个黏性系数，建立了黏性流体运动的基本方程组。这些方程通常被称为“纳维-斯托克斯方程”（N-S方程组）。欧拉方程正是N-S方程在黏度为零时的特例。
尽管N-S方程组也只是一个近似的描述，但仍然使理论流体力学向前跨进了一大步，可谓进入了流体力学史上第一个巅峰时刻。N-S方程组是流体力学中最基本的方程组；是对于过去流体力学历史的总结，也是未来流体发展的惊人预言，近现代理论流体力学的研究纷纷以N-S方程组为原始出发点。
斯托克斯在对流体动力学进行研究时，推导出了在曲线积分中最有名的“斯托克斯定理”；在流体力学中，当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的涡通量之和。1851年提出“黏滞度定律”，即“斯托克斯定律”，指明阻力与流速和黏滞系数成比例，这是关于阻力的公式——F=6πηυR；式中，R是球体的半径，υ是它是相对于液体的速度，η是液体的粘滞系数；斯托克斯大大发展了流体动力学，斯托克斯定理向湍流迈进了一大步，而黏滞度定律则将黏性考虑到了实际流体中。
3）流体速度测试
1732年，法国著名工程师亨利·皮托，受命测量法国著名的塞纳河河水的流速，在此过程中他发明了皮托管用于测量该河流中流体的流速。皮托管主要测量某给定点的局部速度而不是整条管线的平均速度。早期的皮托管只负责测量总压，因此又被称为总压管，而静压的测量是与总压分开进行的。皮托管测量出压力，再用伯努利原理算出流体的速度。
1858年法国水利工程师亨利·达西（1803-1858）对皮托管做了重要的改进。他发明了沿着流动方向放置的静压管，通过侧壁开孔达到测量流动静压强的目的，将静压和总压的测量整合到了一起，形成了完整的速度测量所广泛使用的现代皮托管。他根据伯努利原理确立了新的测速管的计算公式，且新测速管的结构与现在使用的测速管非常接近。达西利用测速管测量了管道和明渠界面上的流体速度分布，历史上首次实现了对流场内部结构的测量；提高了人们对湍流流场特性的认识。
达西在流体力学理论研究上也做出了重要贡献，比如提出了著名的管道流动达西公式，为建立现代管道流动理论提供依据；还提出了达西渗流定律，奠定了渗流力学基础，该定律在城市供水系统中得到了实际应用。此外，还有达西-威斯巴哈方程式是流体力学中的唯象方程式，得名自达西和尤利乌斯·威斯巴哈，此方程式描述固定长度管路内因摩擦力产生的扬程损失（压强损失）和管路中的平均流速的关系。
4）向湍流过度
1858年德国人亥姆霍兹提出了“亥姆霍兹涡量定理”，这是流体力学中有关涡旋的动力学性质的一个著名定理。它指出，在无黏性、正压流体中，若外力有势，则在某时刻组成涡线、涡面和涡管的流体质点在以前或以后任一时刻也永远组成涡线、涡面和涡管，而且涡管强度在运动过程中恒不变。他还研究了流体力学中的涡流、海浪形成机理和若干气象问题。
1864-1867年，马赫提出了马赫数，成为流体力学中的一个常用概念，即物体（如飞机）在空气中的运动速度与声音在流体中的速度之比；又有细分多种马赫数，如飞行器在空中飞行使用的飞行马赫数、气流速度之气流马赫数、复杂流场中某点流速之局部马赫数等等；至今已成为表征流体运动状态的重要参数。
1869年爱尔兰人开尔文提出了流体力学中的一个著名定理——“开尔文环量定理”，内容是：在无黏性、正压流体中，若外力有势，则沿由相同流体质点组成的封闭曲线的速度环量在随体运动过程中恒不变。亥姆霍兹定理和开尔文定理合在一起全面地描述了在无黏性、正压、外力有势这三个条件下流体中涡旋的随体变化规律。
很多重要流体现象都可以用此定理来解释；比如位势流。位势流在流体力学中发展得早而成熟，从欧拉就开始研究，这是因为相应的数学问题比较简单。数学分析有一命题，旋度在一个区域中为零同这个区域中流动有速度势是相互等价的；因此，位势流又叫无旋流。从18世纪开始，人们用位势流的方法成功地反映了涟波、潮汐波和声波的规律。19世纪中期又弄清无黏流体的理论可以允许一部分流体是有旋的（如涡环），而包围这部分有旋流的却可以是位势流。并且，如果知道了有旋流部分的旋度分布，就可以算出位势流部分的速度场。
此后，由于位势流理论有了很大进展，在水波、潮汐、涡旋运动等方面都阐明了很多规律。究竟在什么条件下会出现位势流，这是由开尔文证明了环量守恒定理后才比较清楚了，满足该定理的流体就是位势流。可见，位势流的出现会是广泛的；但切向间断和边界层是两种产生涡旋的原因(见涡旋)都不能用位势流理论来描述。
他进一步提出了“开尔文最小能量定理”——流体力学中有关不可压缩无黏性流体运动的一个定理；该定理揭示，在定理所作的假设下，无旋运动由于具有最小能量因而成为最优的运动形态，从而加深了对无旋运动特性的了解。而“开尔文——亥姆霍兹不稳定性”理论，可预测不同密度的流体在不同的运动速度下的不稳定状态发生以及层流变成湍流的界限。
5）湍流的发现
意大利人雷诺做了著名的雷诺实验，1883年，雷诺在管流实验中发现，管道中流体的流动可以呈现两种截然不同的流态——层流和湍流；但直到今天，湍流的真正形成机制仍然是一个谜团。他提出了流体惯性力与黏性力比值的量度——雷诺数作为判断层流和湍流的数据；此外他还在理论上做出了贡献，提出了雷诺方程（黏性不可压缩流体作湍流运动时﹐流场中的瞬时参量压力和速度分量，仍旧满足N-S方程）和雷诺传输定理（可用来定量地描述流场中流体性质的变化）。他与达西一起被称为19世纪实验流体力学的代表性人物。
19世纪，人们加大了对流体力学这门非常实用的学科的关注，很多理论和实验物理学家以及工程师都在该领域做了卓有成效的工作。从气体到液体，从
理论到实验和检测，都有了重大突破；最典型的进展是纳维-斯托克斯方程的建立，在流体中引进了黏性。其次是在气体理论上，建立了理想气体的状态方程——克拉佩龙方程，为气体以及空气动力学的研究奠定了坚实的基础。第三个进展是提出了雷诺数，用于判断层流和湍流，并为20世纪的流体力学出了题目——湍流的本质和运动规律。
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