无穷大一直是存在的,无法回避的事情.
比如,自然数一直往后数:
1,2,3,…,
总也数不完!
这个问题历史上一直困扰着数学家、哲学家、甚至物理学家。
在公元384年，古希腊出生一个伟大的哲学家亚里士多德，他是古希腊哲学家、科学家，是亚历山大大帝的老师。曾认为“重物体比轻物体下落速度要快些”的观点，这种认识统治了西方学术界将近2000年。一直到1590年伽利略做了那个著名的比萨斜塔试验。
亚里士多德认为：整数和时间都是无穷的，无穷没有边界，也就是说无穷大不可以存在的。
经过思辩，他认为无穷大不能存在于现实世界上，也就是说，在现实世界中永远无法实现。由此提出了“潜无穷“的概念。
直到19世纪，西方一些数学家一直承认亚里士多德是对的，包鼎鼎大名的高斯，他说：我反对将无穷视为一个实体，这在数学中从来都是不允许的。
但一直到伽利略，在实验了两个铁球同时着地之后，索性再挑战一下这个哲学上的巨人—亚里士多德的“潜无穷“。
把这个车轮旋转60°，我们来看看会发生什么？
看小轮的前进距离是不是等于大轮的边长?这是为什么呢?
这是因为呀,在小轮前进过程中,不仅前进了自身的长度,而且空中跳跃了一下,所以最后加起来就是大轮的边长了.
问题是,当把这个多边形的边长无限延伸时,这时两个多边形的车轮变成了两个圆形的车轮,中间的小车轮也不再有跳跃,可是小车轮的移动距离居然和大车轮移动跨度相同,真是不可思议是不是?
这说明什么问题,实际上可以这样来解释:虽然两个圆的半径不同,但上面的点“一样多”!
所以后来,有了描述集合的“大小”的概念—集合的势:
于是有了下面的关于无穷的描述(公理):
那么如何证明一个集合是无限集呢?比如,所有的整数是无限集吗?
如何定义两个无穷多的集合一样大呢?得先有下面的概念(这是必做的!):
如何证明两个集合等势呢?比如,我们能不能证明整数集(Z)和自然数集(N)是等势的?
事实上,只要能找到相应的f即可:
证明:如下方法构造f: ,则f为双射:
即:
等势的含义是两个集合的元素个数“一样多”!
关于集合论,早期没有势的概念,但出现下述悖论(佯谬):
而希尔伯特悖论说的是,有无限多的旅馆和无限多的客人,只要把原住的客人的房间号后推一个,总能住进一个新的客人!
如此之类的构造,我们很容易证明,所有的有理数组成的数集和整数组成的数集“一样多”(等势):
但无理数集不能与有理数集一样多:
证明（Cantor'sDiagonalProof,1891）
由于 ≈[0，1]，故只需要说明[0，1]之间的实数点集不可列即可。首先约定实数x∈[0，1]，令x=0.x1x2…，xi∈N 且xi∈[0,9],
对于无限循环小数0.249999…与0.250000…统一只采用后者的表示法表示。
说的具体一点,假设所有的有理数集依次表示为如下的情况:
0.1256782…
0.236891…
0.865248…
0.526473…
… …
对这些所有的有理数,作下述变换:
依次取每个小数的第1位,第2位,第3位,…,取完这些数后每个数码依次排列,然后把取定的每个数码加上1(如果原数码为9,则 1后记为0),前面再加上小数点,则新的数,由于每位数码和原来有理数集中的每个原有的数都不相同,所以产生了一个新的数,它不是有理数,但它是小数.即必然会有无理数多于有理数(不等势).
E.Bell说: “由康托尔在1874-1895年创造地集合论的引起争论的题目，象征着19世纪有先见之明的预言家们认为是从物理科学到民主政府的一切事物中，极其合理的原则的总崩溃，这些预言家们预见到了一切，只是没有预见到这场大崩溃。 “悖论和自相矛盾开始同时出现，这些可能最终是康托尔的理论注定要对数学做出的最大贡献，因为它们就在围绕无穷的逻辑和数学推理的基础中意想不到地存在，是现在整个演绎推论中批判运动地直接启迪。我们希望从这里能得出一个更丰富、更“真实”(摆脱了不一致)的数学。 你以为有了上面的无穷的概念,事情就结束了吧?才不是呢? 比如下面的问题: 你要伸手到达1m处,必先达到0.5m处,再之前必先到达0.25m处,依次类推,你的手是在哪个时刻伸出去的呢? 请回答!
,
