估算和推理的方法（令人信服且确定不移）

数学源于算术理论，所以关于算术的许多结论也能用来说明一般数学的普遍问题。

我们来探讨数字的起源，简而言之，数字的概念反映了物体集合的量的关系。它们是逐渐地产生的：最初是与具体对象一体的“有名数”（有数字五的命名为手），然后是抽象的零散的数，最后才是以基本运算为关联的数的系统，其中的每一个数只是一个抽象的符号，它与其他数的关系便是这个数的一切。

历史给我们回答了这个问题，我们看到：算术结论本身是缓慢逐渐地建立起来的，它们反映了在许多世代的长期过程中积累起来的，并且因此凝固在人们意识中的经验。它们在语言中固定下来了：在数字的名称中，在符号中，在对数字的同一种运算的经常重复中，以及在它们经常的实际应用中固定下来了。

另一方面，逻辑推理方法本身也有同样的产生过程，逻辑是历史的投影，现实关系错综复杂，但沿着某个方向（比如算术）的投影却是简明的，稳定的。长期的投影使我们的大脑建立了相应的关联，产生了相应的结构，以致于我们便是这样思考的。

算术的令人信服的根源就在这里。它的结论逻辑地从其基本概念中推导出来，而逻辑方法和算术概念两者都是数以千年的实践为基础，以我们周围世界的客观规律性为基础在人们的意识中形成和巩固起来的。

算术的概念和结论概括大量的经验，在抽象的形式中表现出现实世界的那些经常和到处碰到的联系，计算的对象既可以是房间里的东西，也可以是星球，是人，是原子……算术舍弃了所有局部的和具体的东西，而抽取了某些普遍的性质。

正是因为它仅仅抽取普遍的性质，所以它的结论才能运用到这样大量的情况中去，同时，这种抽象性不是空想的，而是从长期实际经验中提取出来的。对于全部数学，对于任何抽象概念和理论也都是这样的。理论应用的可能性取决于其中所概述的原始材料的广泛程度，

同时，任一抽象概念，包括关于数的概念，由于它本身特有的抽象性，所以在其意义上是有局限的。

第一，在应用到任一具体对象时，它只反映了对象的一个方面，因此只能给出关于对象的很不全面的观念，例如，常有这样的情况：有了一些数据但是关于事情的本质却说明得很少。

第二，不能没有任何条件地到处应用抽象概念，不能把算术运用到任一具体问题，而不判断一下，在这里运用算术是否有意义，比如，我们说到加法时，只是想象地把对象联合起来，而对于这些对象本身当然什么事情也没有发生。但是如果我们把加法运用于对象的实际联合，如果我们实际上把对象置放在一起，比如把它们放成一堆或都摆在桌上，那么这里发生的不是抽象的加法，而是现实的过程。这个过程不但不限于是算术的加法，而且可能使算术加法根本不适用。

例如，物体选放在一堆可能会折损；野兽放在一起可能会有这个把那个吃掉的情况；“加 在一起的”物质可能发生化学反应；一公升水和一公升酒精混合以后，由于两种液体的相互溶解得出的不是2公升而是1.9公升的混合物。这样的例子可以随便举出很多来。

对于逻辑，同样如此，逻辑会出错么？有一些是明显的错误，比如因为1 1=2，所以三角形两边之和大于第三边，我们可以说它牛头不对马嘴，完全不通；有一些是精致的错误，比如一些诡辩和悖论，所谓子非我，安不知我不知鱼之乐；还有些是高级的谬误，比如芝诺的悖论，罗素的悖论，它们都是违反了一些逻辑中尚未被公认的规则，比如逻辑的对象是受时间空间限制的。

阿基里斯跑不过乌龟

伯特兰·罗素

总之，真理是很具体的；正是由于数学和逻辑的抽象性，这点就特别重要。