本文为“2022年第四届数学文化征文活动
一则寓言故事带来的教学启发
作者 : 邹太芹
作品编号：076
看过这样一个寓言故事，出处已经不记得了，说有兄弟俩，哥哥非常忠厚老实，受人尊重。弟弟油嘴滑舌，爱吹牛，受别人嫌弃。有一天夜晚刮大风，天亮后，大家都在议论纷纷，说风如何的大，天呈异象。弟弟就接着说，风确实大，昨晚我家院内的那口井都被吹到篱笆外了。大家听后纷纷嘲笑弟弟，说他太能吹牛。弟弟被嘲笑后，很下不来台，他习惯性想起经常帮自己善后的哥哥。就梗着脖子说，“不信你问我哥去。”“去就去，看看怎么风把你家丼吹篱笆里了。”大家推推搡搡，就一起带着疑惑去求证哥哥。哥哥正在地里打理庄稼，一看来了这么一大群人，后面还有耷拉着脑袋的弟弟，就知道弟弟又吹牛了。听完大家的描述，哥哥知道弟弟又把牛吹大了，哥哥智慧的一笑说，确实昨晚丼被吹到篱笆外了。大家都惊诧地张大嘴巴。只听哥哥接着说，是这样的，由于昨夜风太大，吹跑了篱笆，正好让丼出现在篱笆外。大家恍然大悟。
看完这则故事，我为哥哥的智慧折服，所有的运动都是相对的。不禁想到数学中图像平移的例子。有种豁然开朗的感觉。
对于图像位置平移，我们刻画位置变化都是数据来衡量的。借助平面直角坐标系坐标是容易实现数据变化观察的。
首先点在平面直角坐标系中平移，如点在平面直角坐标系中平移，横坐标是左减右加，纵坐标是上加下减。这个移动带来的坐标变化规律学生是能够接受的。按照知识发展体系，图像由点到线，线在坐标系中的平移法则也应该是一致的。组成直线每一个点的数据平移法则都满足上面的规律，横坐标是左减右加，纵坐标是上加下减。那得到整条直线对应的横纵坐标移动变化规律都应该是左减右加，纵坐标是上加下减。事实上并不是这样。因为函数两个变量之间本身具有一定的式子结构关系，反应到坐标变化，并不能用点的坐标变化规律来刻画。例如在介绍一次函数时，沪科版教科书八年级上只介绍了直线的上下平移，回避了左右平移，偶尔作业上有左右平移也只是从计算观察角度得到对应的解析式，运用不完全归纳法得到横坐标是左加右减，纵坐标是上加下减。很多学生就是不明白为什么 点的运动坐标变化规律，到了函数解析式就会不一样，尤其到了二次函数，图像上下，左右平移不能再回避的时候，法则就是硬背了。考试不影响得分，但心中的疑惑就是一直解不开，不知道看此篇文章的老师有没有这个疑惑。
对于直线大家都能够知道图像是经过原点的直线，是其向上平移一个单位得到直线，大家几乎没有怀疑，有的是根据表格中坐标的数据规律得到的，更多的同学是根据以前点的移动规律得到的。问题就出在这里，纵坐标能够用以前的规律，横坐标为什么就不行了？一切疑问与矛盾当解释不了的时候，我们就要回到知识的原点。对于形如的所有直线都经过原点，直线沿y轴向上平移一个单位，就经过（0,1）点，不再经过原点。此刻我们就对经过原点的直线熟悉怎么办？所有的运动都是相对的，此刻，我们可以将x轴沿y轴方向，向上平移一个单位，让平移后的直线再次在新的平面直角坐标系中，经过原点，如图7，在新的坐标系下令解析式为。因为x横沿y轴方向，向上平移一个单位，所以原来的所有横坐标不变，纵坐标比原来减少一个单位，即。所以直线回到原坐标的解析式就是整理得
同样若将直线沿轴向右平移平移1个单位，直线就经过点（1,0），不再经过原点。同样我们可以将轴沿轴方向，向右平移一个单位，让平移后的直线再次在新的平面直角坐标系中，经过原点，如图8
在新的坐标系下令解析式为
因为轴沿轴方向，向右平移一个单位，所以所有纵坐标不变，横坐标比原来减少一个单位，即。所以直线回到原坐标的解析式就是整理得
这样无论上下还是左右平移直线，都相当于平移对应的坐标轴，让直线回归到经过原点（研究图像时的原始位置），通过坐标轴位置的变化，感受坐标数据带来的变化，这样一脉相承下来，二次函数也按照这个路径研究。二次函数的原始位置是顶点在原点的形式，当发生上下或左右平移，我们平移对应的坐标轴，让抛物线回到顶点为原点，始终解析式为形如，发生上下，左右平移，对照研究一次函数平移方式，得到上加下减，左加右减。学生在理解的基础运用，会心悦诚服。以此类推，在今后研究其他如指数函数，幂函数的平移也是如此。这应该就是今年高考作文中的“妙手”的含义，妙手在于统一，可以在统一中运用才能成为妙手。前后贯穿结构统一，不仅想的到，还能想的好，就是妙手。
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