【题目呈现】
如下图，抛物线y=X²一2x一3与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，直线L与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.
(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式;
(2)P是线段AC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值;
(3)点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使得以A、C、F、G为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标;如果不存在，请说明理由.
【分析】
(1)A、B两点的坐标，令抛物线y=0，解方程可得，∵C点横坐标已知，代入抛物线可得C点纵坐标，再用待定系数法求直线AC的表达式.
(2)由于PE平行于y轴，P、E两点横坐标相同，设出其中一个点的横坐标，纵坐标分别用相应的函数关系式表示，进而表示出线段PE长度的关系式，求出最大值.
(3)由于A、C两点确定，那么以线段AC为边，为对角线分类讨论。
【答案与解析】
解:(1)令抛物线y=x²一2x一3的y=0，解得x1=一1，x2=3，∴A(一1，0)，B(3，0)，将C点的横坐标x=2代入y=X²一2X一3，得y=一3，∴C点坐标为(2，一3)，设直线AC的解析式为y=Kx b(K、b为常数且K≠0)，代入A(一1，0)，C(2，一3)，得①0=一K b且②一3=2K b，解得，K=一1，b=一1，∴直线AB的解析式为y=一X一1.
(2)设P点的横坐标为x(一1≤x≤2)，由于PE∥y轴，E在抛物线上，∴P点坐标为(x，一x一1)，E点坐标为(x，x²一2x一3)，∴PE=(一X一1)一(X²一2x一3)=一x² x 2=一(x一1/2)² 9/4，∴当x=1/2时，PE取得最大值为9/4.
(3)在x轴上存在点F，使得以点A、C、F、G为顶点的四边形为平行四边形，如下图
①当AC为对角线时，只能是AF∥CG，设抛物线于y轴的交点为D，D点坐标为(0，一3)，∵C点坐标为(2，一3)，∴CD∥AF，设此时F为F1，G为G1，则G1点与D点重合时符合条件，∵AF1=G1C=2，∴F1点坐标为(1，0).
②当AC为边，AF2∥G2C，且AF2=G2C时，在x轴下方，G2点与G1点重合时符合条件，∴点F2为(一3，0);当AC为边AG为边在x轴上方，到x轴距离为3存在两个G点，相应的在x轴上存在两个F点，令抛物线y=x²一2X一3=3，解得x=1±√7，不妨设点G3坐标为(1十√7，3)，点G4坐标为(1一√7，3)，∵对角线G3C的中点(3/2 √7/2，0)，也是对角线AF3的中点，点A(一1，0)∴点F3坐标为(4 √7，0)，同样，对角线G4C的中点(3/2一√7/2，0)，也是对角线AF4的中点，∴点F4的坐标为(4一√7，0).
综上所述，符合条件的点F的坐标为F(1，0)或F(一3，0)或(4 √7，0)或(4一√7，0).
另外，用点的坐标平移求F4，F3两点坐标也比较简单，由于点A(一1，O)，向右平移3个单位，再向下平移3个单位到C(2，一3)点，∴G3(1 √7，3)点向右平移3个单位，再向下平移3个单位得点F3(4十√7，0)，G4(1一√7，3)点向右平移3个单位，再向下平移3个单位得点F4(4一√7，0).
【反思】
对于平行四边形存在性问题，有三定，一动;两定，两动;一定，三动等几种情况，尤以第二种情况多见，运用分类讨论的思想，结合三角形全等，勾股定理，中点坐标，以及平移等知识方可解决。
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