摘 要
神经网络是模拟大脑的行为机制，并进行信息处理的数学模型，是由许多神经元通过突 触连接而成，具有自适应、自组织和自学习的能力。近年来，神经网络广泛地应用于联 想记忆、信号处理、组合优化、模式识别和保密通信。需要指出的是，神经网络的这些 实际应用与自身的动力学性质是密切相关的，因而神经网络的动力学分析逐渐成为学术 界的研究热点。在神经网络的理论研究中，时变时滞、不确定性、随机噪声和扩散现象 显著影响神经网络的性质。针对时滞递归神经网络，如何利用线性矩阵不等式获得保守 性更低的指数稳定性判据仍需深入研究。当无界时滞和扩散现象同时出现在神经网络中， 如何分析其稳定性与同步是一个难题。此外，对随机时滞反应扩散神经网络，如何设计 脉冲控制器实现指数同步。针对这些问题开展了相关的研究。
关 键 字
递归神经网络；时变时滞；不确定性；随机噪声；反应扩散
扩张现象，此时，神经元之间的信号传递不再是瞬间完成的，在这种情况下，需要引入分布时滞来描述延迟现象。分布时滞按照时滞长度一般分为有界分布时滞和无界分布时滞。
神经网络模型中有自反馈系数、连接权系数和时滞连接权系数，这些系数一般是通过测量统计获得的，考虑到外部噪声、参数浮动，以及测量误差的存在，所得到的神经网络系数往往并不是精确的，而是不确定的。不确定性可能导致系统出现很差的性能，因而研究带有不确定性的神经网络的稳定性更有意义，在这种情形下称神经网络具有鲁棒稳定性。通常我们考虑的神经网络的不确定性分为两类，即参数不确定性和结构不确定性。参数不确定性，即参数值是不固定的，属于一个区间内。虽然这些参数值是未知的，但区间的上下界是已知的，在理论证明过程中，一般是利用绝对值的上界或者下界对参数进行放大。结构不确定性，多考虑于向量形式的神经网络中，举例来说，一般假定参数是A △A(t)的形式，其中A是已知的矩阵，△A(t)表示不确定性矩阵，通常假设为
实际运作的系统往往都受到随机噪声和人为干扰的影响。随机噪声对确定型系统的作用包含两方面——既可以破坏一个稳定的确定型系统，也可以镇定一个不稳定的确定型系统。研究带有随机噪声的动力学系统能更清晰地揭示随机噪声对系统的行为影响。最初的神经网络稳定性的成果，均假设系统是确定型的，不考虑随机噪声对系统的影响。1996年，Liao和Mao首次将随机噪声引入到神经网络中，利用随机分析技巧研究了随机神经网络的几乎处处指数稳定性和不稳定性，进一步研究了随机时滞神经网络的均方指数稳定性。这些成果为随机神经网络的理论研究铺平了道路。
扩散现象广泛存在于神经网络与电子电路中。事实上，当电子穿过非均匀电磁场时，神经网络与电子电路就会出现扩散效应。另一方面，在化学反应过程中，不同的化学物质彼此反应并在空间中扩散，直至构成一个平衡态。因此，在神经网络模型中，神经元的状态变量不仅与时间变量有关，还与空间变量相关。在这种情况下，引入 反应扩散项，用一个偏微分方程来表示神经网络的动力学模型更为合理。
3 本文的研究方法及结论
本文基于现有的时滞递归神经网络的理论成果，进一步研究这类神经网络的动力学行为；研究了时滞递归神经网络的全局指数稳定性。首先给出了时滞递归神经网络全局指数稳定性分析的方法，并且给出了指数收敛速率的估计。利用这一方法，一些现有的全局渐近稳定性结果能加强到全局指数稳定性结果；然后构建LyapunovKrasovskii泛函，并利用交互式凸组合方法和Wirtinger不等式，获得了线性矩阵不等式形式的 时滞相关的指数稳定性条件；最后给出了一个仿 真结果。
考虑了带有Dirichlet边界条件和无界离散时 滞的反应扩散神经网络的同步问题。利用偏微分 方程理论、Green公式、不等式技巧和比较方法， 通过设计一个状态反馈控制器，给出了一些代数 判据以保证所考虑的反应扩散神经网络的驱动响应同步；同时也得到了带有有界离散时滞的反应扩散神经网络的同步结果。所得到的结果推广了一些现有的结果；最后给出了三个数值仿真实例。
探讨了带有Dirichlet边界条件、无界离散时滞和无界分布时滞的随机反应扩散神经网络的全局φ型稳定性和鲁棒稳定性。运用不等式技巧、M矩阵性质和随机分析理论，一些代数判据被给出以保证此类随机反应扩散神经网络的几乎处处φ型稳定性、p阶矩φ型稳定性和φ型鲁棒稳定性；通过选择合适的φ函数，φ型稳定性可退化到指数稳定性、多项式稳定性和对数稳定性。并且， 得到的结果包含了一些现有的结论作为特例；最 后给出了一个仿真结果以说明理论分析的有效性。
分析了带有Dirichlet边界条件和混合时变时 滞的随机反应扩散神经网络的脉冲指数同步。利用随机分析理论、线性矩阵不等式和反证法，通过设计一个脉冲控制器，考虑了随机反应扩散神经网络的脉冲指数同步。与当前的一些结果相比，我们研究的神经网络模型更为一般，分析过程中放松了对时滞导数的限制，得到的结果推广了一 些现有的结论；同时给出了两个仿真实例以说明理论结果的有效性。
（参考文献略）
选自《中国人工智能学会通讯》
2020年 第10卷 第2期 优秀博士学位论文精华版
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