# 传北大校友华裔数学家张益唐攻克数学界一猜想东坤学习网
网传北大校友78级数学系毕业的，美籍华裔数学家张益唐在参加北京大学校友Zoom线上会议时亲口说，已经攻克了朗道-西格尔零点猜想。而有人预计张益唐的文章会在11月初刊发出来。直到1999年，在北大师弟葛力明帮忙下，张益唐来到新罕布什尔大学担任临时讲师。东坤学习网
本书是同济大学数学系《高等数学》( 第7版) (下册)教材的配套题库,主要包括以
下内容:
第一部分为考研真题精选。本部分精选了近年考研真题,按照教材的章节分类,并提
供了详解。通过本部分,可以熟悉考研真题的命题风格和难易程度。
第二部分为章节题库。结合国内近些年的考研真题和考查重点,根据该教材的章目进
行编排,精选典型习题并提供详细答案解析,供考生强化练习。反函数与复合函数
①反函数的特点
a．函数f和反函数f－1的单调性一致。
b．f的图像和f－1的图像关于直线y＝x对称。
②复合函数
g与f能构成复合函数f°g的条件是：f的定义域与g的值域的交集不能为空集。
（3）函数的运算
设函数f（x），g（x）的定义域为Df，Dg，且定义域有交集为D，则可定义这两个函数的下列运算
和（差）f±g：（f±g）（x）＝f（x）±g（x），x∈D。
积f·g：（f·g）（x）＝f（x）·g（x），x∈D。
商f/g：（f/g）（x）＝f（x）/g（x），x∈D\{x|g（x）＝0，x∈D}。
（4）初等函数
5类基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
二、数列的极限
1数列极限的定义
数列{xn}收敛于a⇔
⇔∀ε＞0，∃正整数N，当n＞N时，有|xn－a|＜ε。
数列{xn}是发散⇔
不存在。
2收敛数列的性质
（1）唯一性
如果数列{xn}收敛，则它的极限唯一。
（2）有界性
如果数列{xn}收敛，则数列{xn}一定有界。
①有界数列：存在正数M，使得对于一切xn都满足不等式|xn|≤M。
②无界数列：不存在正数M，使得对于一切xn都满足不等式|xn|≤M。
（3）保号性
如果
，且a＞0（或a＜0），则存在正整数N＞0，当n＞N时，都有xn＞0（或xn＜0）。
推论：如果数列{xn}从某项起有xn≥0（或xn≤0）且
，则a≥0（或a≤0）。
（4）收敛数列与其子数列间的关系
①如果数列{xn}收敛于a，则它的任一子数列也收敛，且极限也是a。
②如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，则数列{xn}是发散的。
③一个发散的数列也可能有收敛的子数列。
三、函数的极限
1函数极限的定义
（1）函数f（x）极限的两种情形
①自变量x趋于有限值x0时函数的极限
只有
及
都存在并且相等时，x→x0时极限存在。
②自变量x趋于无穷大时函数的极限
⇔∀ε＞0，∃δ＞0，当|x|＞X时，有|f（x）－A|＜ε。
2函数极限的性质
（1）唯一性
如果
存在，则这极限唯一。
（2）局部有界性
如果
，则存在常数M＞0和δ＞0，使得当0＜|x－x0|＜δ时，有|f（x）|≤M。
（3）局部保号性
①如果
，且A＞0（或A＜0），则存在常数δ＞0，使得当0＜|x－x0|＜δ时，有f（x）＞0（或f（x）＜0）。
②如果
，则存在着x0的某一去心邻域U°（x0），当x∈U°（x0）时，有|f（x）|＞|A|/2。
③如果在x0的某去心邻域内f（x）≥0（或f（x）≤0），而且
，则A≥0（或A≤0）。
（4）函数极限与数列极限的关系
如果极限
存在，{xn}为函数f（x）的定义域内任一收敛于x0的数列，且满足：xn≠x0（n∈N＋），则相应的函数值数列{f（xn）}必收敛，且
。
四、无穷小与无穷大
1无穷小
若
，称f（x）是x→x0时的无穷小量。
2无穷大
（1）定义
若
，称f（x）是x→x0时的无穷大量。
（2）渐近线
设曲线y＝f（x）
①斜渐近线y＝kx＋b
特别地，当k＝0时，曲线有水平渐近线y＝b。
②垂直渐近线
若
（或者左、右极限趋于无穷），则垂直渐近线为x＝x0。
3无穷大与无穷小之间的关系
在自变量的同一变化过程中，如果f（x）为无穷大，则1/f（x）为无穷小；反之，如果f（x）为无穷小，且f（x）≠0，则1/f（x）为无穷大。
五、极限运算法则
1极限运算法则相关定理
（1）定理1
两个无穷小的和是无穷小，有限个无穷小之和也是无穷小。
（2）定理2
有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
①推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小。
②推论2：有限个无穷小的乘积是无穷小。
（3）定理3
如果limf（x）＝A，limg（x）＝B，则
①lim[f（x）±g（x）]＝limf（x）±limg（x）＝A±B；
②lim[f（x）·g（x）]＝limf（x）·limg（x）＝A·B；
③若又有B≠0，则lim（f（x）/g（x））＝limf（x）/limg（x）＝A/B
a．推论1：如果limf（x）存在，而c为常数，则lim[cf（x）]＝climf（x）；
b．推论2：如果存在，而n是正整数，则lim[f（x）]n＝[limf（x）]n。
（4）定理4
设有数列{xn}和{yn}，
，则
①
；
②
；
③当yn≠0（n＝1，2，…）且B≠0时，
。
（5）定理5
如果φ（x）≥ψ（x），而limφ（x）＝A，limψ（x）＝B，则A≥B。
（6）定理6（复合函数的极限运算法则）
设函数y＝f[g（x）]是由函数u＝g（x）与函数y＝f（u）复合而成，f[g（x）]在点x0的某去心邻域内有定义，若
，
，且存在δ0＞0，当x∈U（x0，δ0）时，有g（x）≠u0，则
2x→x0时有理分式函数的极限
设多项式f（x）＝a0xn＋a1xn－1＋…＋an，则
又设有理分式函数F（x）＝P（x）/Q（x），其中P（x），Q（x）都是多项式，于是
如果Q（x0）≠0，则
注：若Q（x0）＝0则关于商的极限的运算法则不能应用，那就需要特别考虑。
六、极限存在准则及两个重要极限
1极限存在准则
（1）夹逼准则
①夹逼准则1
如果数列{xn}，{yn}及{zn}满足下列条件：
a．从某项起，即∃n0∈N＋，当n＞n0时，有yn≤xn≤zn；
b．
，则数列{xn}的极限存在，且
。
②夹逼准则2
a．当x∈U°（x0，r）（或|x|＞M）时，g（x）≤f（x）≤h（x）；
b．
，则
存在，且等于A。
（2）单调有界准则
单调有界数列必有极限。
（3）左极限存在准则
设函数f（x）在点x0的某个左邻域内单调并且有界，则f（x）在x0的左极限f（x0－）必定存在。
（4）柯西极限存在准则
数列{xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当m＞N，n＞N时，有|xn－xm|＜ε。
2两个重要极限
，
3常见函数的极限
（1）
。
（2）
。
（3）
（令t＝arcsinx）。
（4）
（令t＝－x）。
（5）
（sinx有界，1/x（x→∞）为无穷小），
。
（6）
，其中a0≠0，b0≠0，m和n为非负整数。
（7）幂指函数的极限
一般地，对于形如u（x）v（x）（u（x）＞0，u（x）≠1）的函数（通常称为幂指函数），如果limu（x）＝a＞0，limv（x）＝b，limu（x）v（x）＝ab。
注：这里三个lim都表示在同一自变量变化过程中的极限。
4有关sinx，x，tanx的不等式
sinx＜x＜tanx，∀x∈（－π/2，0）或（0，π/2）
七、无穷小的比较
1相关无穷小的定义（见表1-2）
表1-2 相关无穷小的定义
2定理
设α～α～，β～β～且lim（β～/α～）存在，则lim（β/α）＝lim（β～/α～）。
3常用的等价无穷小
sinx～x，tanx～x，arcsinx～x，1－cosx～x2/2（x→0），ln（1＋x）～x（x→0），ex－1～x（x→0），（1＋x）α－1～αx（x→0）
八、函数的连续性与间断点
1函数的连续性
（1）连续
f（x）在x0连续⇔∀ε＞0，∃δ＞0，当|x－x0|＜δ，有|f（x）－f（x0）|＜ε。
（2）左连续和右连续
①左连续
若
，则称f（x）在点x0处左连续。
②右连续
若
，则称f（x）在点x0处左连续。
③连续函数
在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间上的连续函数，又称函数在该区间上连续。
④有理分式函数的连续性
对于有理分式函数F（x）＝P（x）/Q（x），只要Q（x0）≠0，则
，因此有理分式函数在其定义域内的每一点都是连续的。
2函数的间断点的类型（见表1-3）
表1-3 函数间断点的类型
九、连续函数的运算与初等函数的连续性
1连续函数的和、差、积、商的连续性
设函数f（x）和g（x）在点x0连续，则它们的和（差）f±g、积f·g及商f/g（当g（x0）≠0时）都在点x0连续。
2反函数与复合函数的连续性
（1）反函数的连续性
如果函数y＝f（x）在区间Ix上单调增加（或单调减少）且连续，则它的反函数x＝f－1（y）也在对应的区间Iy＝{y|y＝f（x），x∈Ix}上单调增加（或单调减少）且连续。
（2）复合函数的连续性
①定理1
设函数y＝f[g（x）]由函数u＝g（x）与函数y＝f（u）复合而成，U°（x0）⊂Df°g。若
，而函数y＝f（u）在u＝u0连续，则
②定理2
设函数y＝f[g（x）]是由函数u＝g（x）与函数y＝f（u）复合而成，U（x0）⊂Df°g。若函数u＝g（x）在x＝x0连续，且g（x0）＝u0，而函数y＝f（u）在u＝u0连续，则复合函数y＝f[g（x）]在x＝x0也连续。
3初等函数的连续性
（1）基本初等函数在它们的定义域内都是连续的。
（2）一切初等函数在其定义区间内都是连续的。
十、闭区间上连续函数的性质
1函数f（x）在闭区间[a，b]上连续
如果函数f（x）在开区间（a，b）内连续，在右端点b左连续，在左端点a右连续，则函数f（x）就是在闭区间[a，b]上连续。
2闭区间上连续函数的性质（见表1-4）
表1-4 闭区间上连续函数的性质
3一致连续性
（1）一致连续与连续的关系
如果函数f（x）在区间I上一致连续，则f（x）在区间I上一定连续；当f（x）在区间I上连续，f（x）在区间I上不一定一致连续。
（2）一致连续性定理
如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则它在该区间上一致连续。
❸设函数f( u, v)具有2阶连续偏导数，函数g(x,y) =xy-f(x y , x-y) ,求o2g/
0x2 o2g/ (0x0y) o2g/0y2。 [数三2019研]
解:首先求g(x,y)对x、y的一-阶偏导数eg/x=y - f1'-f2' , ag/@y=x-f' f2'。
因为f(u, v)具有2阶连续偏导数,所以有f12”=f21”,进-步可得g对x、y的二阶偏导数:
2g/ex2= - f11"-f12"-f21"-22”= -f11"- 2f12"-22”
2g/ (Cx6y) =1-f11" f12"-f21" f22"=1- f11" f22"
e2g@y2= - f11" f12" f21"-22”= -f1" 2f12”- f2”
因此2g/0x2 2g (0x6y) 2gey2=1-3f11”- f2”"。
,
