今天我们来讨论一个有趣的问题，如何手算开根号。
相信很多70后80后都学习过传统的手算开根号的方法，类似于列一个除法算式进行试代。
今天我们介绍另一种方法，利用迭代法来手算开根号。
我们以求√11为例来进行说明。
令x=√11，则
x^2=11
x^2-9=11-9=2
(x-3)(x 3)=2
x-3=2/(x 3)
x=3 2/(x 3)=[3(x 3) 2]/(x 3)
=(3x 9 2)/(x 3)=(3x 11)/(x 3)
x=(3x 11)/(x 3)
x=(3x 11)/(x 3)
由此，我们想到构造数列
a(n 1)=(3an 11)/(an 3)
=3 2/(an 3)
容易证明，当数列的初始值a1＞0时，数列{an}存在极限。
假设lim(an)=a，n→∞
自然有lim[a(n 1)]=a，n→∞
a1＞0时，显然有an＞0
所以a＞0
a(n 1)=(3an 11)/(an 3)
n→∞
lim[a(n 1)]=lim[(3an 11)/(an 3)]
a=(3a 11)/(a 3)
a(a 3)=3a 11
a^2 3a=3a 11
a^2=11，a＞0
a=√11
lim(an)=a=√11，n→∞
也就是说递推数列：
a1＞0，a(n 1)=(3an 11)/(an 3)
的极限值就是√11
注意到
3^2=9＜11＜16=4^2
3＜√11＜4
我们不妨取初始值a1=3＞0
接下来一直进行迭代
a2=(3a1 11)/(a1 3)
=(3×3 11)/(3 3)=20/6=10/3
=3.333333…
a3=(3×10/3 11)/(10/3 3)
=(30 33)/(10 9)=63/19
=3.315789…
a4=(3×63/19 11)/(63/19 3)
=(189 209)/(63 57)=398/120
=199/60=3.316666…
a5=(3×199/60 11)/(199/60 3)
=(597 660)/(199 180)
=1257/379=3.316622…
我们来验证一下通过四次迭代以后的计算精度。
利用计算器算得：
√11=3.316624…
a5=3.316622…
可以看到，四次迭代后，精度已经达到小数点后第五位，这种精度已经足够高了。
利用这种方法还可以手算出其他根号的估值。当然，相比列除法算式进行试代的方法，迭代法显得更复杂一些，但这种迭代的思想很重要，值得大家认真揣摩学习。
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