群论是抽象代数的分支，抽象代数是研究代数系统的学科。
要理解什么是代数系统，先得明白什么叫运算。
运算是
n个集合下的笛卡尔积到m个集合下的笛卡尔积之间的映射。其中，n和m是正整数，并且这n m个集合可以任意重合，也可以互不一样。
比如，我们整数上的加法乘法，我们的有向图计算入度出度，我们对于可微函数求微分，我们对于逻辑式求值，我们对于运算的运算……这一切，都是运算。
而所谓代数系统就是上面n m个集合和上面的所有的运算整体的集合。抽象代数就是去研究满足相通性质的代数系统的共性，研究共性的前提就在于把运算抽象化。
说白了，所谓的代数系统可以有无数种，甚至抽象代数本身就可以分成无限多个子学科。
而群论说白了，就是研究只有一种运算、我们称为乘法运算的代数系统的学科，这基本上是所有代数系统中比较简单的系统。在此学科中，我们研究群的分类、各分类的共性等各种性质。
所谓群，满足以下性质：
1.集合上存在一个二元运算(二元运算是集合A上一个AxA->A的映射)，我们称为乘法，可以记作⊗
2.乘法满足结合率，对于任何集合上a,b,c,满足a⊗b⊗c =a⊗(b⊗c)
3.集合中存在一个元素e,对于集合上任何元素a,有a⊗e=e⊗a
4.对于集合上任何元素a，存在集合上一个元素b，使得a⊗b=e,b⊗a=e
实际上，上述条件还可以看似弱一点，
比如
对于集合上任何元素a，存在集合上一个元素b，使得a⊗b=e，存在一个元素c,使得c⊗a=e
a⊗b = e
=>
c⊗(a⊗b) = c⊗e
=>
c⊗a⊗b = c
=>
e⊗b = c
=>
b = c
而满足上述1、2两条的，叫半群。
注意，群里的乘法不用满足交换率，也就是
a⊗b = b⊗a不用对所有a,b都成立。
比如实数下的n阶满秩矩阵群就是个例子，而满足交换律的群叫交换群，又称Abel群。
在数学中，满足群上述定义这样的代数模型是普遍存在的，从而抽象去研究它们的共性，利用同构、同态(实际上是某种代数系统的相似)等，就等于研究了一堆模型的性质，提供了强大的数学建模工具。
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