【思路分析】
（1）第1问与常规的套路利用待定系数法求函数解析式是一样的，由于题目给出了已知抛物线的解析式，所以令y=0，我们可以快速求出点A、B的坐标，再根据翻折后的特征，求出抛物线的解析式；或者先求出抛物线与y轴交点C’的坐标，再利用翻折的对称性，则点C与点C’关于x轴对称，可求C点坐标，再用待定系数法求解析式，方法不唯一；
（2）第2问由外接圆的定义可以知道，线段BC与线段BA的垂直平分线的交点M就是我们要寻找的圆心位置，画出草图，由图像直观可以发现点M是直线y=x与抛物线对称轴x=1的交点，由此可得外接圆圆心M（1，1），然后根据勾股定理列出关于半径r的等式，进一步求解即可；
（3）设出点Q的坐标（t，0），线段BC可能是平行四边形的边或对角线。当BC是平行四边形的边时，则BQ//PC，且BQ=PC，从而可以用t的式子将点P的坐标表示出来，然后代入抛物线解析式求解t的值，即可得点Q坐标；当BC是平行四边形的对角线时，由B、C两点的坐标可以求得对角线交点的坐标，从而可以求出点P的坐标，在代入解析式求出t的值，可得Q点坐标；
（4）本题是二次函数综合应用，涉及待定系数法、对称的性质、三角形外心、勾股定理、平行四边形的性质等相关知识点，考查了方程思想、数形结合思想以及分类讨论思想，难度较大。
