本文为“2022年第四届数学文化征文活动
从肌肉记忆到《几何原本》第四公理
作者 : 蒲定东
作品编号：069
（檀小七巧板社团课，一年级同学在图证剖分相等，对应《几何原本》第二公理——等量加等量，其和相等）
从2020年秋季开学至今，檀木林小学七巧板社团主要面向一、二年级学生招新，而之前只招过五年级学生。孩子们对拼图游戏的兴趣是与生俱来的，大人们则希望有些许引导，让孩子们觉得数学好玩。
作为社团指导老师，在语言方面，我只能将数学概念、术语转换为孩子们生活中的熟悉的自然语言来表达。例如，全等拼图，我说成双胞胎拼图。
更进一步，引导孩子们植根于肌肉记忆去发现。因为，孩子是用肢体去探索世界的，孩子的肢体是探索的主角，孩子的肢体不是孩子大脑的奴隶。孩子的大脑尚未受到语言的污染。
例如，关于全等，我这样导入：
同学们有没有发现，有的大人的左手和右手不一样大。你怎样证明，你的左手跟右手是一样大的？或者不一样大？
这时候，大多数孩子会下意识地双手合十，仔细检视，然后踊跃反馈自己的发明与发现。
这时候，我会趁热打铁，赞叹孩子们独立发现、重新发现了《几何原本》第四公理——彼此重合（的东西）彼此相等。并让孩子们写下来，贴到家里书房的墙上。
对于孩子，先是从生活到数学，后是从数学到生活。我们需要去挖掘植根于肌肉记忆的第四公理这样的桥梁，连接起生活与数学。
（一）
关于旋转的语言，孩子们没接触过角度，我就用钟点来表达。例如，从12点走到3点，用以表达顺时针旋转90度。
旋转与翻转植根于肌肉记忆。平移或许处于更底层。旋转并且平移呈现为滚动，那么，旋转中心是禁止平移的，是不动的。同理，翻转中轴也是禁止平移的，是不动的。动手操作更能体会。
若一个拼块，经过一次旋转变换，从起点出发又回到起点，终点与起点彼此重合彼此相等，我们就说该拼块构成一种旋转对称。
例如，平行四边形拼块有两种旋转对称，从3点钟旋转到9点钟，彼此重合彼此相等；再从9点钟旋转到3点钟彼此重合彼此相等。
正方形拼块有四种旋转对称。自己去发现。
更深层次的问题来了，三角形拼块自身是否具备旋转对称？我答不上来，但能提问题，或许蕴含着思考者超越的契机。
若一个拼块，经过一次翻转变换，从起点出发又回到起点，终点与起点彼此重合彼此相等，我们就说该拼块构成一种翻转对称。
在对折的意义上，三角形拼图构成一种翻转对称，对称轴只有一条。正方形拼图具备四种翻转对称，对称轴有四条。
我的疑惑是，三角形拼块，从正面翻转到反面，彼此重合彼此相等；再从反面翻转到正面，彼此重合彼此相等，是不是意味着它具备两种翻转对称呢？
（二）
我总是惊叹于小孩子很自然地用箭线图表达他/她对于状态及状态变迁的认知，不要人教都会。跟肌肉记忆类似，像是与生俱来的。反过来看，状态及状态变迁，若不用箭线图表示，还能用什么表示呢？
2020年2月12日，六岁多点的小烦（马伯庸）跟妈妈学煮饭。步骤记不住，妈妈让他自己画个图，他就画了下图。他父母也没教过他。
2021年12月10日的七巧板社团课，二年级谢芷菡同学记不住七巧连方的四组变形，她自己画出下图，依图变形。
两个静态的拼图结构之间存在什么样的关系呢？或者说，我们需要什么样的灵活的结构，把静态结构进行动态连接呢？
最普适的，是用箭线图表示。箭尾出发点表示变迁前的状态，箭头射向的点表示变迁后的状态。整个箭线图表示状态及其变迁。
（三）
上文中曾提及：若一个拼块，经过一次翻转变换，从起点出发又回到起点，终点与起点彼此重合彼此相等，我们就说该拼块构成一种翻转对称。
我们可以表示成这样的箭线图：
至此，我们来尝试理解下图：
只要孩子们喜欢，把箭线图中的点替换成小猪。上图中的那只小猪既是变换的起点，又是变换的终点，表明它从自身出发，变来变去，又回到自身。上图中，小猪有三种变换都可以变回自身。
基于这种关系图式，我们可以用这种最普适的语言去表达出更多比较复杂的关系：
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