知识要点
整数解问题是竞赛、自主招生和强基计划中的热点和难点内容，解题时用到的知识不多，但方法灵活.下面的内容初中生和高中生、家长和数学教师都可以学习. 涉及整数的问题，常常用到两种基本思路：第一是运用整数的整除性；第二是运用因式分解、配方以及不等式的知识.
一、质数与合数
对于正整数可以按照它们的正约数的个数分为三类：一类是只有一个正约数的数，它就是1；一类是只有两个正约数的数，这两个正约数只能是1和它本身，例如2，3，5，7，这样的数叫做质数（也叫素数）；第三类是有两个以上正约数的数，例如12就有6个正约数：1，2，3，4，6，12，这样的数叫做合数.因此，正整数是由1，质数和合数三部分组成的.
显然，2是最小质数，也是唯一的偶质数（既是偶数又是质数的数称为偶质数）.除2以外，其他的质数都是奇数.
如果一个正整数a的一个约数p是质数，则约数p称为a的质约数.
关于质约数有下面两个重要性质：
性质1 一个大于1的正整数a的大于1的最小约数一定是质数.
性质2 如果a是合数，那么a的最小质约数一定不大于a的算术平方根.
二、整除的判定
1.能被2整除的数的特征
若一个整数的末位能被2整除，则这个数能被2整除.
2.能被3整除的数的特征
若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除.
3. 能被4整除的数的特征
若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除.
5. 能被5整除的数的特征
若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
6. 能被8整除的数的特征
若一个整数的末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
7.能被9整除的数的特征
若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除.
8.能被11整除的数的特征
若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除.
9.连续整数的乘积
对于两个连续整数a和a＋1，其中必有一个偶数，因此乘积a(a＋1)能被2整除；对于三个连续整数，其中必有一个偶数，也必有一个数能被3整除，因而乘积a(a 1)(a 2)一定能被6整除；可以证明：n个连续整数的乘积能被n(n－1)×…×3×2×1整除.
