苏格拉底（公元前469年～公元前399年），古希腊时期的思想家、哲学家和教育家，出身贫寒，是一位个性鲜明、从古至今被人毁誉不一的著名历史人物。苏格拉底是柏拉图的老师，他一生未曾著述，其言论和思想多见于柏拉图和色诺芬的著作，如《苏格拉底言行回忆录》。苏格拉与柏拉图、亚里士多德并称"希腊三贤"。
苏格拉底的妻子是个心胸狭窄、冥顽不化，喜欢唠叨不休，动辄破口大骂的女人，而且常使堂堂的哲学家苏格拉底困窘不堪。一次，别人问苏格拉底"您当初为什么要选择这样一位妻子?"时，他回答说："擅长马术的人总要挑烈马骑，骑惯了烈马，驾驭其他的马就不在话下了。我如果能忍受得了这样女人的话，恐怕天下就再也没有难于相处的人了。" 在西方，"苏格拉底的妻子"是悍妇、坏老婆的代名词。
有一天，柏拉图问苏格拉底："什么是爱情？"苏格拉底说：
"前面有一片麦田，你走一趟，选最大最漂亮的一根麦回来，但选一根后不能改变主意，也不准走回头路。"
结果柏拉图空手而归："我每次看见一根好麦，总觉得之后会遇上更好的，三心两意下，走完麦田都没拿到。"苏格拉底告诉柏拉图："这便是爱情"。
又有一天，柏拉图又问老师苏格拉底："什么是婚姻呢？"苏格拉底这次让柏拉图去森林，按照上次的规则，要其选最大最漂亮的一棵树回来。这次，柏拉图果然有收获："经过上次失败的教训，我选了一棵不特别漂亮的树便算了。"苏格拉底笑了："这便是婚姻"。
两位哲学家用麦穗和树枝问题来形象地比喻了爱情和婚姻的不同：前者是错过了的美好，后者是人生旅途中权衡之后某个时候的抉择。
1611年，伟大的天文物理学家约翰尼斯·开普勒的妻子去世，两年后科学家准备续弦，重新组建家庭。由于开普勒的上一段婚姻并不幸福，所以这次他对交往的女士详细考察，力求找到完美的对象。开普勒像面试一样挨个交往相亲对象，在见到第5名女性时，他眼前一亮，被对方的勤俭持家、善良忠诚所打动。他本想就此收手，但"下一个是不是更棒？"的想法，最终驱使他继续去寻找更优秀的。
最后，开普勒一共交往了11名女士，但他并没有找到更好的，反而一直对第5名女士牵肠挂肚。在某天去演讲的途中，他突然下定决心，调头前往第5名女士的家里，厚着脸皮向这位被他拒绝过的女士求婚。幸运的是，对方答应了。就这样，开普勒跟这名叫做苏珊·罗伊特林格的女子结婚了，两人生育了6名子女，生活幸福，携手到老。可是，并不是每个人都能像开普勒这样幸运，回头时那个人刚好还在等你，更多是至尊宝式的遗憾："曾经有一份真诚的爱情摆在我面前，我没有珍惜，等我失去之后，我才追悔莫及。人世间最痛苦的事莫过于此。" 人生没有最优解，只有满意解。
人文学者及公众都为这段颇富哲理的名人小故事津津乐道，但数学家们却另辟蹊径，从完全不同的、概率及统计的角度来解读它。
麦穗问题虽然很普通，但也连得上貌似高深的"随机过程"。每棵麦穗的大小都可以看作是随机的，因此当柏拉图在麦田中走一圈时，碰到一个又一个排成序列的随机变量，这不就是一个随机过程吗？
在麦田的前1/e部分不要做决定（其中e为自然对数的底数，约等于2.71），只是把它作为参考，看看这1/e部分中哪个最大，然后在后面的部分如果能遇到一个相似大小的，这就是我们理论上能寻求到的最大的麦穗。
理论上，你可以获得一个最优解，但现实中我们很多人都会成为"柏拉图"。
近日苏黎世大学的一项研究表明，人们在等待决策的过程中，标准会越来越低。
他们招募了129名参与者来进行模拟购物实验，他们需要尽可能以最少的钱下单机票。起飞日期确定，但机票的价格存在波动（像极了我每天在做的事）。
数据显示，人们决策时使用的是一个"线性阈值模型"：越接近起飞日期，你能够接受的心理价位就越高（它也意味着，人们所设定的标准越来越低了）。
研究人员表示，这一原则不仅适用于采购决策，也适用于选择去哪家公司、挑选伴侣等情况：
"刚开始的时候，你的择偶标准可能很高。但随着时间推移，它可能会慢慢降低，以至于你答应一个当初会拒绝的人。"
英国伦敦大学学院的美女讲师汉娜·弗莱博士最近出了本《真爱中的数学》，用数学模型帮"单身狗"们寻找真爱。
抛开书中那一串串同样令人目眩神迷的数学公式，不妨直接看看弗莱博士给出了哪些建议。
首先是相亲的策略，带一位颜值低于你的朋友同行，相亲成功的几率会大大提高，这似乎是某种不太地道的"常识"，但弗莱博士却通过复杂的计算，证实了它的科学性。
其次是最佳的结婚时间，计算发现，人们应该在计划婚期之前所有约会时间过完37%之后再结婚。也就是说，如果一个人打算在35岁结婚，而他从15岁开始约会，那么22.4岁之前所有的约会对象，都将不幸地成为他人幸福路上的垫脚石。
可别以为结了婚就万事大吉，好事儿的数学家们对婚姻能否持续另有一套数学模型。据说，这套模型曾用于预测国家之间的军备竞赛。
利用数学的观点抽象之后的麦穗问题，等效于概率及博弈论中著名的秘书问题。它还有多种变换版本：未婚夫问题、止步策略、苏丹嫁妆问题，等等。
下面我们用"傻博士相亲"的故事来叙述它。并借助微积分的基本概念用于求解分析这一问题过程。
且说几年前留学人员中有一位外号"傻博士"的学生，精通数学，小有成就，唯有一老大难问题尚未解决：将近40岁还没有交上女朋友。于是，那年他奉母命回国相亲，据说半个月之内来了100名佳丽应召。后来，这位傻博士经过严格的数学论证，采用了一种他认为的"最佳策略"，终于百里挑一，赢得美人归。
这里还需加上一段话，描述傻博士母亲设定的条件。母亲要求他在15天之内，要对这100位佳丽一个一个地面试，每位佳丽只能见一次面，面试一个佳丽之后立即给出"不要"或"要"的答案。如果"不要"，则以后再无机会面试该女子；如果答案是"要"，则意味着博士选中了这位女子，相亲过程便到此结束。
看到这里，你也许已经能领会到这个"博士相亲"与"麦穗问题"本质上是一致的了。那么，对于母亲这种"见好就收，一锤定音"的要求，傻博士的"最佳策略"又是怎么样的呢？
既然是"最佳"，那应该用得上微积分中的最优化、求极值的技巧吧。果然如此！我们首先看看，傻博士是如何建造这个问题的数学模型的。
这看起来是个概率的问题。假设，按照傻博士对女孩的标准，他将100个女孩做了一个排行榜，从1到100编上号，"#1"是最好的，然后，"#2"、"#3"……当然，傻博士并不知道当时每一次面试的女孩是多少号。这些号码随机地分布在傻博士安排的另一个面试序列（1，2，3，…，r，…，i，…，n）中，见图3-5-1。傻博士的目的就是要寻找一种策略，使得这"一锤定音"定在"#1"的概率最高。
设想一下，傻博士可以有好多种方法做这件事。比如说，他可以想得简单一点，预先随意认定一个数字r（比如将r固定为等于20），当他面试到第r个人的时候，就定下来算了。这时候，因为r是100中挑出来的任意一个，所以，这个人是"#1"的概率应该是1/100。这种简单策略的概率很小，傻博士觉得太吃亏。比如说，当他面试到第20个人时，如果看到的是个丑八怪（或者疯女子）也就这么定下来吗？显然这不是一个好办法。那么，将上面的方法做点修正吧：仍然选择一个数字（比如r＝20），但这次的策略是：他从第20个人开始认真考察，将后面的面试者与前面面试过的所有人加以比较。比如说，如果傻博士觉得这第20个面试者比前面19个人都好，那便可以"见好就收"。否则，他将继续面试第21个，将她与前面20人相比较；如果不如前面的，继续面试第22个，将她与前面21人相比较……如此继续下去，直到面试到比前面的面试者都要更好的人为止。
根据图3-5-1，总结一下傻博士策略的基本思想：对开始的r－1个面试者，答复都是"不要"，等于是"忽略"掉这些佳丽，只是了解一下而已，直到第r个人开始，才认真考虑和比较。如果从r开始面试到第i个人的时候，觉得这是一个比前面的人都要更中意的人，便决定说"要"，从而停止这场游戏。图3-5-1中还标出了一个"临时最佳者"，这和实际上隐藏着的排行榜中的"#1"是不同的。"临时最佳者"指的是傻博士一个一个面试之后到达某个时刻所看到的最好的佳丽，是随着傻博士已经面试过的人数的增加而变化的。
这里便有了一个问题：对100个人而言，到底前面应该"忽略"掉多少个人，才是最佳的呢？也就是说，对n个面试者，r应该等于多大，才能使得最终被选定的那个面试者，是"#1"的概率最大？r太小了当然不好，比如说，如果令r＝2，那就是说，只忽略第一个，如果第二个比第一个好的话，就定下了第二个。当然也可能继续下去，但很有可能使你的决定下得太快了，似乎还没有真正开始面试，过程就结束了！r太大显然也不行，比如说令r＝99，那就是说，从第99个人才开始比较。如此办法，因为忽略的人数太多，当然，"#1"被忽略掉的可能性也非常大，面试了这么多的人，将傻博士累得半死，选出#1的概率只是大约为2/100而已。
也许，应该忽略掉一半，从中点开始考察？也许，这个数k符合黄金分割原则：0.618？也许与另外某个有名的数学常数（π或e）有关？然而，这都是一些缺乏论据的主观猜测，傻博士是科学家，还是让数学来说话吧。
我们首先粗略地考察一下，如果使用这种方法的话，对某个给定的r，应该如何估算最后选中"#1"的概率P（r）。对于给定的r，忽略了前面的r－1个佳丽之后，从第r个到第n个佳丽都有被选中的可能性。因此，在图3-5-1下方的公式中，这个总概率P（r）被表示成所有的P（i）之和。这里的i从r到n逐一变化，而P（i）则是选中第i个佳丽的可能性（概率）乘以这个佳丽是"#1"的可能性。
选中第i个佳丽的可能性是多少？取决于第i个佳丽被选中的条件，那应该是当且仅当第i个佳丽比前面i－1个都要更好，而且前面的人尚未被选中的情形下才会发生。也可以说，第i个佳丽被选中，当且仅当第i个佳丽比之前的"临时最佳者"更好，并且这个临时最佳者是在最开始被忽略的r－1个佳丽之中。因为如果这个临时最佳者是在从r到i之间的话，她面试后就应该被选中了，然后就停止了"相亲过程"，第i个佳丽不会被面试。
此外，这第i个佳丽是"#1"的可能性是多少呢？实际上，按照等概率原理，每个佳丽是"#1"的可能性是一样的，都是1/n。因此根据上面的分析，我们便得到了图3-5-1所示的选中"#1"的概率公式。
从公式可知，选中"#1"的概率是萨博士策略中开始认真考虑的那个点r的函数。读者不妨试试在公式中代入不同的n及不同r的数值，可以得到相应情况下的Pn（r）。比如说，我们前面所举的当n＝100时候的两种情形：P100（2）大约等于6/100；P100（99）大约等于2/100。
下面问题就是要解决：r取什么数值，才能使得Pn（r）最大？如果我们按照图3-5-1中的公式计算出当n＝100时，不同r所对应的概率数值，比如令r分别为2，8，12，22，…，将计算结果画在Pn（r）图上，如图3-5-2（a）所示。我们可以将这些离散点连接起来，成为一条连续曲线，然后估计出最大值出现在哪一个点r。这是求得P（r）最大值的一种实验方法。
然而，我们更感兴趣从理论上分析更为一般的问题，那就要用到微积分了。如果能给随机变量建立一套类似于普通微积分的理论，让我们能够像对普通变量做微积分那样对随机变量做微积分就好了。
在普通微积分里面，最基本的理论基础是"收敛"和"极限"的概念，所有其他的概念都是基于这两个基本概念的。对于随机过程的微积分，在数学家们建立了基于实分析和测度论的概率论体系之后，就可以像当初发展普通微积分那样先建立"收敛"和"极限"这两个概念。与普通数学分析不同的是，现在我们打交道的是随机变量，比以前的普通变量要复杂得多，相应建立起来的"收敛"和"极限"的概念也要复杂得多。
在随机微积分中的积分变量是随机过程，比如说无规行走。无规行走是时间的一个函数，却有一个特殊的性质：处处连续但是处处不可导，正是这个特殊的性质使得随机微积分与普通微积分大不相同。
实际上，随机微积分一般都既牵涉到普通变量时间t，又牵涉到随机变量W（t）。所以，进行随机微积分时，如果碰到跟t有关的部分就用普通微积分的法则，而碰到跟W（t）有关的部分时就使用随机微积分的法则。
来源于1949年的一个数学家提出的未婚妻模型。两者本质是一样的。下面介绍下未婚妻模型。
先做几个假设：
1. 相亲男在打算谈恋爱到结婚的这段时间里（[0,m],m是时间点），假设可以遇到N个女生。比如，N = 0,1,2,3...这个N个人中的某一个，就是你的未婚妻。
2. 这N个女生，虽有优劣，均是随机的被相亲男碰到的。
3. 相亲男碰到的每一个女生，均有两种选择，要么表白，要么拒绝。一旦表白，则结束这个"征婚游戏"；一旦拒绝，则继续考虑下一个女生。（根据事件独立性原则，不考虑脚踏两只船的情况）。
一般情况下，相亲男会跟前几个女生都接触下，试试水，同时逐渐了解下自己的需求，再开始认真考虑，从下一个开始，只要一碰到一个女生比自己之前遇到的人都合适，那么就表白，其发展关系。
这个问题就变成了数学问题：先拒绝前k个人（k<=N-1），从k 1个人开始，一旦看到比之前所有人都要好的人，就毫不犹豫地选择。
那么，这个问题就变成了，如何确定k值，使得未婚妻出现的概率最大（即P(k)最大）。
算法如下：
我们假设，未婚妻出现在第i个位置。
一般情况下，每个人被选择的概率，是1/N。
因为要拒绝掉前k个人，那么k <i<=N，以及 k<=i-1。
又因为，未婚妻比前k个人都要好，这种选择的概率为k/(i-1)。
未婚妻出现的总概率为
P(k) = Σ(1/N)(k/(i-1)) = (k/N)Σ(1/(i-1))。
其中求和从i=k 1开始。
（后面实际上是一个调和平均数）。啰嗦一句，调和平均数的本质在于总体等效。比如，初中时候的并联电阻。其关键一点在于，在一个等效系统中，最重要的是考虑弱小的一方。有点类似短桶效应。
举例子：比如，相亲男要进行20次相亲，即N = 20，他打算与前3个进行试探下，并不打算表白。即k=3。那么P(k=3) = (3/20)[1/(4-1) 1/(5-1) 1/(6-1) ... 1/(20-1)]=我就不计算了。
用 x 来表示 k/n 的值，从极限角度考虑，当N = 无穷大时，上述P(k)可以用微积分写：P(x) = x∫(1/t)dt = -xlnx
求最大值嘛，那么就求导，对P(x)求导，就是对-xlnx求导，求导后令x=0,得到P(x)的最大值就是P(k)。
这个最大值为：(1-1/e) = 1/2.718 = 1- 0.3679 = 0.6321
换句话说，如果相亲男拼命去相亲（N = 无穷大），最多有63.21%的概率，碰到自己认为最合适的未婚妻。
但是建议量力而行，根据自己的实际情况确定N的值。。
最后，再说下这个模型的非常明显的缺点：如果最佳人选本来就在这前36.79%的人里面，错过这 36.79% 的人之后，再也碰不上更好的了。（终身遗憾）
05 数据挖掘算法决策树是直观运用概率分析的树形分类器，是很常用的分类方法，属于监管学习，决策树分类过程是从根节点开始，根据特征属性值选择输出分支，直到到达叶子节点，将叶子节点存放的类别作为决策结果.
如图1-11所示的树状图展现了当代女大学生相亲的决策行为。其考虑的首要因素的是长相，其他考虑因素依次为专业、年龄差和星座，同意与否都根据相应变量的取值而定。
决策树算法模拟了上述的决策行为，按照这些要求，可以对候选相亲男性的数据进行分类预测，然后根据预测结果找出女大学生心仪的男性。
决策树以女性相亲为例，那么对于一个在婚恋交友网站注册的男性，如何预测该男性的相亲成功率呢？这里使用KNN算法（K-NearestNeighor，最邻近算法）进行预测。
这里采用三个变量或属性来描述一个男性，即收入、背景和长相。
在已有的数据中，深灰色点代表相亲成功的人，白点代表相亲不成功的人，中间连接线条的黑点代表一个新来的男性，KNN算法在预测这个新人相亲是否成功时，会找到他和附近的K个点，并根据这些点是否相亲成功来设定新人约会成功的概率。
比如图1-12中黑点与两个深灰色点、一个白点最近，因此该点相亲成功的可能性占2/3。
KNN算法属于惰性算法，其特点是不事先建立全局的判别公式或规则。当新数据需要分类时，根据每个样本和原有样本之间的距离，取最近K个样本点的众数（Y为分类变量）或均值（Y为连续变量）作为新样本的预测值。该预测方法体现了一句中国的老话"近朱者赤，近墨者黑"。
参考文献：张天荣，《从掷骰子到阿尔法狗：趣谈概率》
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