例。如图，平行四边形 ABCD 中，BC = BD. 点 F 是线段 AB 的中点. 过点 C 作CG⊥DB 于点 G，延长 CG 交 DF 于点 H，且 CH = DB.
(1) 若 DH = 1. 求 FH 的值; (2) 连接 FG. 求证: DB = √(2)FG HG.
(1) 解：如下图 ，在平行四边形 ABCD 中：BC = AD.
又∵BC = BD，CH = DB.(已知)
∴BC = BD = CH = AD.
∴ △ABD 与 △BHC 都是等腰三角形.
又∵点 F 是线段 AB 的中点.
∴ DF⊥AB. 又∵CG⊥DB .
∴ 点 B, G, H, F 共圆.
∴∠DHC = ∠FBD.
又 AB∥CD， DF⊥AB. → DF⊥CD .
∴∠CDH = ∠DFB = 90°.
又∵CH = DB.
∴ Rt△DHC ≌ Rt△FBD.
∴ DH = FB，CD = DF . 又 DF⊥CD .
∴ △CDF 是等腰直角三角形.
∴∠DFC = 45°. 又∵DF⊥AB .
∴∠BFC =∠DFC = 45°.
又连接 FC 交 BH 于点 O，交圆于点 M.
则 HM = BM.
又∵CH = CB, CM = CM.
∴ △CMB ≌ △CMB.
∴∠HMC = ∠BMC , 故 ∠HMF = ∠BMF.
∴ FH = FB.
∴ FH = FB = DH = 1.
(2) 证明：如图 2，由(1)的解答知：DF⊥FB，FH = FB.
∴ △BFH 是等腰直角三角形.
由(1)的解答知： 点 B, G, H, F 共圆, 且 HM = BM.
∴∠HMB = 180°- ∠HFB = 180°- 90° = 90°.
∴ △BMH 是等腰直角三角形.
∴四边形 BMHF 是正方形, 点 O 是此正方形的外心.
又CH⊥DB → 点 G 在圆O 上. → ∠CGM =∠HFM =45°.
∵FM 是圆O 的直径，∴ FH⊥HM , FG⊥GM.
延长 GM 到点N ，使 GN =GF，则得等腰直角 △FGN.
∴ NF =√(2)FG，∠N = 45°= ∠CGM .
又∵ FH⊥HM , FD⊥BF， FD⊥DC.
∴BF∥MH∥CD，又由(1)知：HF =DH.
∴FM = CM. 又 ∠GMC =∠NMF
∴ △GMC ≌ △NMF.
∴ GC = NF =√(2)FG.
∴ DB = CH = CG HG = √(2)FG HG. 证毕！
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