安培定律
撰文 唐纳森（Simon Donaldson）
翻译 来米加（上海交通大学数学科学学院）
校译 林开亮
我的很多研究工作涉及微分几何中和数学物理相关的一些课题与四维空间拓扑的交叉。黑板上的内容，是想部分地通过与三维空间类比，来阐明其中的一些想法。
图示的主题是电磁学的安培定律，这图大概跟读者在标准物理课本中所见的类似。左上用粗体白线表示电流J流过一个封闭线圈。小的箭头则表示电流所产生的磁场B。在二维，这对应于将铁屑散落在一张纸上所形成的图样。磁场在每点都有定义，因此我们应该想象，每一点都有一个小箭头表示磁场，只不过在图示时我们只画出一些作示意。上图中这个基本的物理现象，用普通的语言来陈述就是，电流产生的磁场方向“环绕”线圈，安培定律则对此给出了一个精确的定量刻画。
向量场这个概念，比如磁场（或者电流，看作被局限为沿着线圈），是19世纪早期数学物理中一个非常重要的观念进展。它为描述电、磁、重力等提供了一个统一的框架。这其中有一个重要的概念是，向量场通过某一曲面的通量。数学上，这个定义由曲面积分给出；而直观上，可以把向量场想象成某个流体在每点的流速，那么通量就是流体流过该曲面的流速。
安培定律的 “积分形式”可表述为：由电流产生的磁场绕一曲面的边界曲线的环量，等于电流通过该曲面的通量。黑板中心横穿线圈的小圆盘给出了这样一个曲面的示意。安培定律的“微分形式”，就是黑板右下方的一组方程：电流在空间坐标x,y,z下的三个分量，可以分别表为磁场在空间坐标x,y,z下的三个分量的导数之组合。
我想用黑板上的内容传达出，我所认为的数学中的一些非常美妙的方面。左边是图片和文字，右边是一组方程。他们是同一个事物的不同描述，引发不同角度的理解：图形的和符号的。更进一步，这个图示代表一个具体的物体——真实世界中的一个带电流的铜线圈。数学家画类似的示意图，但是它可以不仅仅代表一个在三维空间中的一维线圈。通过想象，它也可以代表一个在七维空间中的三维对象，甚至是在无穷维空间中的对象。这种从我们物理直觉到抽象情形的拓展，具有显著的有效性。在头脑中，这种直觉的、图形的、符号的和抽象的交互思维，非常美妙且令人愉悦。
所有这些和拓扑学（一种研究对象在连续形变下保持不变的性质的学科）又有什么关系呢？示意图中，打结的闭合线圈暗示着这种联系。一个扭结就是一个封闭线圈，但你无法通过连续形变（即不允许剪开和粘合）把它变为标准的圆圈。这是一种我们凭经验可以理解、但在数学上不容易讲清楚的概念。很容易想见，这样的扭结可以极其复杂，从而使得拓扑学变得相当微妙。具体来说，存在一种扭结到四维空间的扭结自身暗含了一种信息，它指明如何按一定的方式将标准四维空间构建粘合成一个新的四维空间。
黑板所示当然更多地侧重于思想而非背后精确的数学。它想传递的思想是，研究一个扭结闭合电路产生的磁场，是与扭结以及四维空间的拓扑有关联的。在过去的三十年间，确有许许多多契合这种思想的研究进展，尽管其细节不尽相同。例如，这些发展涉及将电磁场论推广到“杨－米尔斯场”，以及与量子力学、量子场论建立联系。这一点用左下角的磁场通过一个小圆盘的通量来示意。（就作者所知）这个量在经典的电磁学中没有什么意义，但在磁场与电子的“波函数”相互作用的量子理论里是核心。
三维和四维有什么特殊之处呢？这在拓扑学中是个深刻的问题。结果表明，维数大于4的空间在许多方面都更容易理解。我们甚至无需搞清楚问题的具体含义，就可以通过所展示的方程式来体会三维的特殊性。右边后两个方程可以由循环重排头一个方程的三个坐标x,y,z依次得到。这依赖于x,y,z中恰有三个对：(xy),(yz),(zx)。我们可以把电磁学形式地推广到高维，但这样磁场就不再是一个向量场，而是一个更复杂的对象。三维的特殊性就在于，磁场和电场同样都是向量场。四维中有类似的推广，也是基于四维特殊的拓扑性质。从本质上理解这些，是一个极迷人的问题，而我们目前大概也只是看到了最终真理的一些影子罢了。在这里，我们还从中发现了数学的另一个美妙所在：不同领域之间产生的令人惊讶而神秘的联系，以及交织在那些看似简单并充分理解中的完全未知的存在。
西蒙·唐纳森（Simon Donaldson），英国数学家、伦敦帝国学院教授。他是菲尔兹奖得主，并获得了邵逸夫奖和数学突破奖。他找到了四维流形的系列不变量，进而发现特定的四维流形容许无穷多个微分结构。
来源：《中国数学会通讯》2017年第1期，环球科学，微波射频网
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