数学数形结合解题方法（数形结合思想巧解题）

数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面．

其中“以形助数”是指借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的．

“以数辅形”是指借助于数的精确性和严密性来阐明形的某些属性，即以数为手段，形作为目的．

【典型例题】

例3．（15南通）关于x的一元二次方程ax²－3x－1＝0的两个不相等的实数根都在－1和0 之间（不包括－1和0），则a的取值范围是 ．

【解析】

【方法一】利用函数图象“数学结合”解题

解：∵关于x的一元二次方程ax²－3x－1＝0的两个不相等的实数根，

∴Δ＝b²－4ac＝9＋4a＞0，∴a＞－9\4，

设二次函数y＝ax²－3x－1，

∵方程ax²－3x－1＝0的两个不相等的实数根都在－1和0之间，∴x₁x₂＝－1\a＞0，

∴a＜0，∴二次函数y＝ax²－3x－1的图象如图所示，

∴当x＝－1时，y＝a＋3－1＜0，即a＜－2，

∴a的取值范围是－9\4＜a＜－2．

故答案为：－9\4＜a＜－2．

【方法二】用方程的有关的知识解题

【总结】根据一元二次方程与二次函数之间的关系，使用图象法可以快速解决问题．

【举一反三】

例4．（14济宁）“如果二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax²＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1－(x－a)(x－b)＝0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是．

A．m＜a＜b＜n

B．a＜m＜n＜b

C．a＜m＜b＜n

D．m＜a＜n＜b

【解析】

【方法一】

解：方程可以化简为x²－(a＋b)x＋ab－1＝0，

【方法二】数形结合思想

解：依题意，得，画出函数y＝(x－a)(x－b)的图象，如图所示．

函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（a＜b）．

方程1－(x－a)(x－b)＝0转化为(x－a)(x－b)＝1，

方程的两根是抛物线y＝(x－a)(x－b)与直线y＝1的两个交点．

由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．

由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m＜a；

在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有b＜n．

综上所述，可知m＜a＜b＜n．

故答案为：m＜a＜b＜n．

【方法三】数形结合思想

解：如图，画出二次函数y＝(x－a)(x－b)的图象，

∴该二次函数x轴的两个交点坐标分别为（a，0）和（b，0）其中a＜b，

将二次函数y＝(x－a)(x－b)的图象向下平移1个单位，得到新二次函数的解析式为y₁＝(x－a)(x－b)－1，

∴这时新二次函数与x轴的交点为（m，0）和（n，0）其中m＜n，

易得：m＜a＜b＜n．

故答案为：m＜a＜b＜n．

【方法四】特殊值法

解：依题意得令a＝0，b＝1，则原方程可化为1－x(x－1)＝0，即x²－x－1＝0，

【总结】方程问题通常可以转化为函数问题，利用函数图象快速判断答案．

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