王淼生（福建省厦门第一中学）
摘要：三角源自天文学。后来从球面三角独立得到平面三角并形成近代三角学。标志三角学从静态研究演绎为反映周期运动变化的一门具有现代数学特征的学科。了解三角发展史对提高业务水平，厘清教学误区，加强理论修养，拓宽专业视野，积淀数学文化，提升自身品味是大有益处。
关键词：三角发展史；解读教材；教学困惑
一、问题的由来
章建跃先生在文献[1]中指出不少网络上刊载的文章，甚至一些正规教辅资料，大多数认为“任意角三角函数”是“锐角三角函数”的类比、推广，或者在按照“锐角三角函数”教学模式来开展“任意角三角函数”教学。其实这是不了解三角学发展史，也没有领悟主编意图，更没有理解教材本质而导致。笔者有幸多次应邀作为评委聆听了不少教师公开课及同课异构活动（注：与三角函数相关），他们华丽的课件、娴熟的操作、规范的板书、和谐的氛围、互动的场面精彩纷呈。遗憾的是不少教师依然“简单粗暴”地认为任意角三角函数就是锐角三角函数的延伸及拓展。出现这种情况既不是偶然，也不在个别教师，甚至成为一种普遍现象。本文从三角学发展史的视角来厘清人教版必修4教学中暴露的一些误区。
。将原来人们认为互不相干的三角函数与指数函数有机结合起来，为三角学发展注入新的生机与活力。
6.三角学传入我国
在我国数学家艰辛的努力下，历经漫长的岁月，三角学于1631年传入中国。三角学在中国早期比较通行的名称是“八线”和“三角”。其中“八线”是指在单位圆上的八种三角函数线：正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线、正矢线、余矢线。随着科学的发展，三角函数成为研究自然界和生产实践中周期变化现象的重要数学模型与工具。
追寻三角学发展史，不难看出三角学也与其他学科一样，都经历了萌芽与兴起、发展与改进、完善与深化及应用与研究等四个阶段。
三、领悟主编意图 厘清教学困惑
追寻三角学发展史，不仅仅是为了回顾历史，更是为了沿着三角学发展足迹还原三角学本来面目，准确领悟教科书主编真实意图，吃透教科书精神实质，厘清教学中的困惑与误区。
1.采用单位圆定义法不仅是出于简捷
不少教师认为新课标教材之所以采用单位圆定义三角函数而摈弃旧教材中利用终边定义完全出于简捷的目的。其实，追寻三角学发展史就不难看出这种想法是片面。
雷提库斯将三角函数定义为直角三角形边长之比，即人们常说的终边定义法的“毛坯”。欧拉以函数线与半径的比值定义了三角函数，即单位圆定义法。事实上，它们本质是等价的。既然本质一致，哪为何新课标教科书采用单位圆定义法呢？主编有何目的？
（1）从源头把控。必须明确从“锐角”到“任意角”是“射”到“转”扩充过程。与圆的定义相同，最能体现三角函数的最显著特性：周期性。在“周而复始”的现象中，最本质的是圆周运动。其实三角学发展史告诉我们三角函数的研究曾经长期在圆中进行，数学史上曾经把三角函数称为“圆函数”，故采用“单位圆定义法”可以说是名正言顺，实至名归。
（2）从全局观念。单位圆定义法有利于站在全局的视角来构建三角函数的整个知识体系。如果说单位圆定义法是三角函数的代数形式，那么单位圆中的三角函数线则是三角函数定义的几何形式。三角函数的代数形式与几何形式高度融合于一体，为后面所学的同角三角函数关系式、诱导公式、三角函数性质及三角恒等变换奠定了坚实的基础。
（3）从思想方法。单位圆定义法充分凸显了数形结合、转化与化归、特殊到一般及具体到抽象等数学思想。正如日本数学家米山国藏所言，无论对于科学工作者还是数学教育工作者，最重要的是数学思想和方法，而数学知识是第二位的。因为数学思想与方法是以基础知识与基本技能为载体，总是隐性地存在于数学概念之中，它是对数学知识的本质认识，是数学知识在更高层次的抽象和概括，是数学内容的精髓，是知识转化为能力的桥梁.
（4）从发展眼光。学生已经熟练掌握直线、圆以及其方程，因此“单位圆定义法”不仅符合学生已有认知水平，而且有利于大学深造微积分，实现中学与大学的无缝对接。
2.任意角三角函数不是锐角三角函数的简单推广
从三角学发展史不难看出，任意角三角函数与锐角三角函数有一定的渊源关系，某种意义上可以把任意角三角函数看作锐角三角函数的进一步发展，但是它们最原始的研究出发点确实是不同的！锐角三角函数是研究各种几何量之间关系而发展起来的，是解决三角形的工具，而任意角三角函数则不限于此，它是最本质、最给力的周期函数，是为了研究周期现象而发展起来的，是研究现实世界中周期变化现象最典型的函数模型。因此既不能把任意角三角函数看作锐角三角函数的简单推广，也不能把锐角三角函数看成任意角三角函数在锐角范围内的限制，这一点必须引起一线教师高度注意。
3.把“三角函数”单独编成一章的用意
教师要用好一套教材就必须理解整套教材编写意图、知识体系、结构特点及呈现方式。没有宏观意识就没有全局观念，就不可能全面理解教材，更不可能与主编意图碰撞出智慧火花！
我们知道，函数是刻画客观世界变化规律的重要模型。学生进入高中后立即学习文[2]中的指数函数、对数函数及幂函数，那为何主编没有把三角函数合并在一起集中学习呢？按理说，新课标教材按模块编排，将三角函数与其他函数放在一起顺理成章，可以系统、完整、全面地学习函数，实现我们常说的“集团歼灭战”不是更好吗？其实深入研究教材的教师一定发现：文[2]中的指数函数、对数函数及幂函数的主要目标是为了建构递增的数学模型，所以主编在文[2]中特意安排“函数模型以及应用”一节，其目的就是为了凸显几类不同增长的函数模型。其目的就是不仅把指数、对数及幂函数而且将初中的一次及二次函数整合于一体并进行比较，以此提醒我们关注增长函数模型的选择与拟合。历来惜字如金的教科书为了亮明主编意图，特意在文[2]中整整花费三大页的篇幅（第98页～101页）集中采用图形语言、符号语言及文字语言专门阐述递增模型，这在教科书中还是第一次如此浓笔重彩，足以显示主编的用心良苦！与此同时，主编特别强调：“它们的增长速度不同，而且不在同一个‘档次’上”，这正是人们描述有关增长的速度时经常说“直线上升、对数增长、指数爆炸”缘由。
由上述分析便知文[2]中的指数、对数及幂函数主要是为了构建增长函数模型，从某种意义上可以说文[2]是增长函数模型“群英荟萃”！而三角函数则是周期函数模型。为了凸显各自特点，主编特意将三角函数单独编成一章。然而不少教师强行将它们安排在一起，不但冲淡指数、对数及幂函数的增长特征，而且淹没了三角函数周期的本质特征。
顺便求教的是：文[2]目录中标明“基本初等函数（Ⅰ）”，文献[3]目录却是“三角函数”，为什么前面注明（Ⅰ），后面不注明（Ⅱ）呢？既然没有（Ⅱ）也就无所谓（Ⅰ）！是主编有意还是编拟教材的失误呢？在此请求专家指点迷津，以释心中之疑。
4.新旧教材中三角函数的本质差异在哪儿？
（1）内容上。新课标教材只要求掌握正弦、余弦、正切函数而删去余切函数、正割函数及余割函数；再如，新课标教材删除了反三角函数；再如，为了凸显三角函数独特的性质：周期性，新课标教材专门增加了“三角函数模型的简单应用”一节，而旧教材则将应用零碎分散在各节中，这是新课标教材的点睛之笔。
（2）编排上。文[3]特意将“平面向量”横贯在“三角函数”与“三角恒等变换”之间，这是主编的精心安排，凸显向量的强大功能。
（3）理念上。新课标教材折射出“删减繁琐复杂的计算、摒弃人为技巧化的难题及弱化细枝末节的追究”的理念。文[3]将11个公式（即两角和差的正弦、余弦、正切及二倍角公式）作为“母公式”，将积化和差、和差化积等作为“母公式”的应用。意在警示教师放弃“冷战”思维，不要一味加深、加大三角恒等式、不等式的证明，不要反复操练所谓的特法、特技试题。侧重凸显数形结合、转化与化归、函数与方程、一般与特殊等数学思想。
文[3]第61～62页中的例3涉及较多且复杂的地理学、天文学中专业名词，如太阳直射纬度角、太阳高度角等，不少教师一带而过，甚至个别教师任性地删除例3，多么令人心痛啊！要知道三角学源自天文学，因此反过来利用三角知识来解决天文、地理学中的问题是“乌鸦反哺、羊羔跪乳”！例4是本节高潮，也是三角函数模型应用的最高境界！收集数据、分析数据、整理数据，描散点图，寻觅最佳拟合函数，将潮汐问题转化为数学问题，构建三角模型，运用三角知识解决问题，最后将结果反馈于实际问题，并根据结果与实际问题进行适当的调整、改进，最终完美解决问题。这种过程与方法正是人教版必修3第一章“算法初步”、第二章“统计初步”中的思想、方法的具体体现，再一次凸显算法思想、统计方法渗透到数学的每一个角落，体现生活是数学的舞台，这正是数学教育的出发点，更是归宿地。
5.将“平面向量”安插其中的目的
领悟主编意图是为了深入研究教材。研究教材就是将教材看作活生生的“人”，与教材深度对话就是与一位知心朋友的心灵交流。钻研教材是高效备课的前奏，正如著名的特级教师白金声感叹：“在备课上多花点时间，如根上浇水；在讲课上增加学生负担，似叶上施肥。”
不少教师讲授完“三角函数”之后撇开“平面向量”而直奔“三角恒等变换”，认为这样安排紧凑，趁热打铁地将三角知识集中学习，更有不少教师认为若中间讲授“平面向量”会冲淡三角的氛围，其实这种安排是不科学的。
教科书及主编在用向量作为工具证明两角差的余弦公式之前，“故意”试图用前面学过的三角函数线以及直角三角形等知识来推导两角差的余弦公式，主编在文[3]第125页指出上
为任意角时也成立，还要做不少推广的工作，并且这项推广工作的过程也是比较繁难的。”奇怪的是：教科书到此戛然而止！笔者孤陋寡闻，据笔者所知教科书还是第一次这样没有处理完而半途而废！
主编这样安排有何目的呢？
（1）尽管“半途而废”，但是教科书安排是顺其自然。因为前面学习了单位圆、三角函数定义、三角函数线，尤其在初中集中学习了解直角三角形，应该说这样处理符合教育教学规律，在学生已有认知基础上，在最近发展区开展推理是符合逻辑，是合情合理的。
（2）体现了从特殊到一般、简单到复杂的规律，这是任何科学研究的普遍方法。
（3）当推广工作遇到困难，应该学会变通，学会变换思维方式，主编借此表明本章不仅仅是三角形式上需要变换，而且暗示师生在学习过程中需要变换自己的思维方式。
（4）向量不仅有大小而且有方向，意味着向量兼具代数、几何特征于一体。向量进入数学并得到发展，是从复数的几何表示开始的。1797年，丹麦数学家威塞尔（Wessel，1745-1818）利用坐标平面上的点（a，b）表示复数a bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算。把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何与三角问题。由向量的发展史不难看出：向量是沟通代数、几何与三角桥梁与纽带。
（5）将“平面向量”安插在“三角函数”与“三角恒等变换”之间的最重要原因就是体现向量强大功能，即利用向量数量积来论证两角差的余弦公式简单明了。正如爱因斯坦感叹：“数学美，本质上终究是简捷”。向量与三角本身都是功能强大的工具，所以主编将它们编排在一起构成模块文[3]，从某种意义上来说文献[3]就是展示强有力工具的“大舞台”。
6. “三角恒等变换”与“三角函数”一起构成文[3]的原因
我们知道转化与化归是七大数学思想之一，可以说数学史就是转化与化归的历史，没有变换就没有数学！文[3]第三章“三角恒等变换”是第一章“三角函数”的延伸，更准确地说是从第一章第二节“同角三角函数关系式”深化而来。因为“同角三角函数关系式”着力点在于同角，也因此而得名。事实上，三角问题中遇到更多的是不同角、不同名之间的关系，这正是文[3]第122页章头图中情境引入“求电视塔高度”的原因所在。如何将不同角、不同名变换为同角、同名是摆在我们面前的一个课题，由此可以看出“三角恒等变换”是顺势而生！既是实际情况所需，也是完善知识系统必然，这正是主编全局观的突出表现。学习“三角函数”的目的就是为了解决实际问题，而解决问题需要“工具”、“手段”，这个强有力的“工具”就是“11个母公式”（这11个母公式就是前面所学的诱导公式的推广与延伸），这个“手段”就是三角恒等变换。没有“三角函数”，“三角恒等变换”就成为无源之水、无本之木！没有“三角恒等变换”，“三角函数”只是光开花不结果的“花瓶”而已。由此说明“三角函数”与“三角恒等变换”是不可分割的“同胞兄弟”，与工具性知识：“平面向量”一起构成模块必修4是必须的、必然的。
7. “解三角形”没有编入文[3]而另立门户编入必修5的原因
我们知道“解三角形”主要解决斜三角形的边角之间的关系，似乎是初中解直角三角形的延伸拓展，是文[3]第一章“三角函数”、第三章“三角恒等变换”的具体应用，至少名字上都有“三角”的字眼，似乎“同宗同祖”！其实不然！“三角函数”既不单纯是初中锐角三角函数的推广，也不是仅仅为了解决斜三角形中的边角问题而生，而是专门为了解决现实世界中普遍存在的周期现象，三角函数与解三角形没有什么关系，因此“解三角形”与“三角函数”并不是“亲兄弟”，充其量是远房的“表兄”而已，其密切程度远不及“三角恒等变换”，因此将“三角恒等变换”放在文[3]而将“解三角形”归入另一个模块必修5就不足为奇，合情合理！主编在文[3]第一章“三角函数”中特意用月相变化和简谐振动的组合图作为章头图，意在用图形语言凸显本章的核心就是研究现实世界中无处不在的循环往复、周而复始的周期现象！主编担心师生没有领会其图形语言，又特意在章头图的下方用文字语言注明“大到宇宙天体的运行，小到质点的运动，现实世界中具有周期性变化的现象无处不在！”主编如此煞费苦心就是为了警示：三角函数与解三角形没有什么关系，其使命已经从静态转变为研究动态现实世界中某些周期运动变化现象。
四、追寻发展史，培养情感态度价值观
1.用数学家的精神激励学生
雷格蒙塔努斯28完成欧洲第一部独立于天文学的三角学著作《论各种三角形》，标志着三角学从天文学中独立出来。韦达39岁完成第一部三角学著作《应用于三角形的数学定律》，系统论述了平面三角学与球面三角学。欧拉42岁撰写划时代著作《无穷分析引论》标志着近代三角学的开始。这些伟大的数学家年轻有为、求真务实，经过艰苦卓绝的奋斗取得举世瞩目的成就，为数学的发展作出巨大的贡献。以他们为榜样，提高学习积极性，激发学生创造力，树立远大抱负并为之而努力拼搏，将来续写辉煌数学史的主人翁就是我们的学生。
2.用数学之美熏陶学生
我国著名的数学家谷超豪指出：“别看数学表面上枯燥，其实只要深入进去，你就会发现奥妙无穷，简直是开发不尽的宝藏啊。”由此告诫数学教师要引领学生在数学的海洋中漫游，同时充满好奇心和兴趣地思考数学之真谛。数学教育的根本目的就是育人！数学育人就是以数学的内容、思想、方法、精神来影响学生的思想、观念、行为、态度和精神，从而培养学生求真、求善、求实、求美的精神。让学生在探究数学的过程与方法中不仅获得知识与技能，熟练掌握过程和方法，而且利用美的启示，发掘美的因素，认识美的结构，追求美的形式，发挥美的作用来培养高尚的审美情操及热爱科学的品格，优化学生思维品质，追求魅力课堂，享受数学之美，激发学生创新意识和创造能力，这才是我们追求的数学教育极致境界。
参考文献：
[1]章建跃。为什么用单位圆上的点的坐标定义任意角的三角函数[J]。数学通报，2007（1）：15—18。
[2]中华人民共和国教育部课程教材研究所。普通高中课程标准试验教科书数学（必修1。A版）[M]。北京：人教育出版社，2011年5月第6次印刷。
[3]中华人民共和国教育部课程教材研究所。普通高中课程标准试验教科书数学（必修4。A版）[M]。北京：人教育出版社，2014年5月第6次印刷。
[4]高敏。课例：弧度制[J]。中学数学教学参考（上旬），2015（4）：16-18。
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