最近有时在网络视频教学中,看到关于任意四个连续整数相乘的方程讲解,总感觉意犹未尽,一时兴起,对四个连续整数相乘的数理及拓展,发表一下个人之浅见,不当之处,还请斧正。

先把其中一个方程,摘抄如下:

(1):X^2-1=355*356*357*358,求X的值?

暂时先不谈其解法,还是先从以下几个步骤着手来分析。

一、 首先刨根问底,追根溯源,先搞清楚“四个连续整数相乘”具体说了什么,也许方程就不攻自破了。

“为什么会有这样的题目出现,是空穴来风吗?”

“对于这样的四个连续整数相乘的方程,其数理根源到底是从哪里来的?”

反复通过查询资料,终于发现在陈景润的《初等数论1》第32页的第一章习题中有一个证明题,第4小题具体摘抄如下:

“4.证明任意四个连续整数的乘积加1必定是一个平方数。”

书本上摘抄如下图:

整数相乘最好举例(任意四个连续整数相乘的基本数理及拓展思考)(1)

书上的证明习题

如果对方程“X^2-1=355*356*357*358”改变一下形式,变成“X^2=355*356*357*358 1”就与这个证明题中的描述完全符合了。

个人认为:这个证明题就是“四个连续整数相乘的方程”这类题型的数理根源。

(备注:因为手头资料有限,当然是不是只有这本书中有,我不得而知,具体是谁发现的,也未作考究。暂且把它当作数理根源吧!)

二、 其次是找到其证明过程。

刚好其书上有证明的过程(陈景润的《初等数论1》第93-94页处)。

原文证明过程摘抄如下:

证明:我们以a,(a 1),(a 2),(a 3)代表四个连续整数,其中a是一个整数,则

a(a 1)(a 2)(a 3)=(a^2 3a)(a^2 3a 2)=[(a^2 3a 1)-1][(a^2 3a 1) 1]=(a^2 3a 1)^2-1

上式右端括弧内a^2 3a 1是一个整数,故(a^2 3a 1)^2是一个平方数。

书上证明过程具体如下图:

整数相乘最好举例(任意四个连续整数相乘的基本数理及拓展思考)(2)

书上的证明步骤

三、 仔细查看证明过程中数理的步骤及逻辑方法,反复询问自己是否有不解之处?

当然证明的步骤与逻辑方法肯定是没有问题的。通过数的分解,成功地分离出了一个“-1”,得到了一个平方数:(a^2 3a 1)^2。

对于其中的每一个步骤自己是否都懂了呢?

对于表达式中“a(a 1)(a 2)(a 3)=(a^2 3a)(a^2 3a 2)”中少了一个乘法结合律的步骤: a(a 1)(a 2)(a 3)=[a(a 3)][(a 1)(a 2)] =(a^2 3a)(a^2 3a 2)。

实际上就是:“首尾两数相乘的积”与“中间两数相乘的积”再相乘。

1、如果是任意四个连续的偶数的乘积加几必定是一个平方数?

2、如果是任意四个连续的奇数的乘积加几必定是一个平方数?

3、对于任意四个数有没有其它方式的进行连续?如果有其乘积加几必定是一个平方数?

4、因此也对于题目中“连续”两字产生了疑惑,“数的连续”具体是以什么方式进行连续的呢?

带着上面的几个疑问,便开始下面的自我探索之旅。

四、 再次追寻先辈之脚步,先从最简单又具体的数开始进行分析。

从下面三组最简单的“四个连续的整数”开始分析。

如下:

第一组: 1*2*3*4,

第二组: 2*3*4*5

第三组: 3*4*5*6

第一组:乘法的结合律有以下三种形式:

  1. 1*2*3*4=(1*2)*(3*4)=2*12
  2. 1*2*3*4=(1*3)*(2*4)=3*8
  3. 1*2*3*4=(1*4)*(2*3)=4*6

第二组:乘法的结合律有以下三种形式:

  1. 2*3*4*5=(2*3)*(4*5)=6*20
  2. 2*3*4*5=(2*4)*(3*5)=8*15
  3. 2*3*4*5=(2*5)*(3*4)=10*12

第三组:乘法的结合律有以下三种形式:

  1. 3*4*5*6=(3*4)*(5*6)=12*30
  2. 3*4*5*6=(3*5)*(4*6)=15*24
  3. 3*4*5*6=(3*6)*(4*5)=18*20

仔细对比这几组数,发现一个有规律的现象,每组中第3种结合方式中“中间两数相乘的积”与“首尾两数相乘的积”之差都是2.

具体如下:

4*6中,6-4=2,

10*12中,12-10=2,

18*20中,20-18=2,

由此猜想:四个连续整数的中间两数之积总比首尾两数之积大2。

由上例证明题中可知:

a(a 1)(a 2)(a 3) =[ a(a 3)]*[(a 1)(a 2)] =(a^2 3a)*(a^2 3a 2)

得出"中间两数之积"减"首尾两数之积":(a^2 3a 2) -(a^2 3a)=2

由此可以证明猜想是正确的。

这有什么用呢?

很容易联想到平方差的公式

(A B)(A-B)=A^2-B^2

当B=1时,其形式如下:

(A 1)(A-1)=A^2-1^2= A^2-1

其中(A 1)-(A-1)=2,是巧合吗?

平方差公式的拓展变化形式之一:

A(A 2)= [(A 1)-1]*[(A 1) 1]=(A 1)^2-1^2=(A 1)^2-1 ---(4)

其中后面的数比前面的数大2:(A 2)-A=2。

通过比较得出以下结论:四个连续整数相乘的中间两数的乘积与首尾两数的乘积之差是2,刚好以构成(4)中平方差形式。

因为:“中间两数的乘积”-“首尾两数的乘积”=2

设“首尾两数的乘积”=A,则 “中间两数的乘积”= A 2

所以:四个连续整数相乘=“首尾两数的乘积” *“中间两数的乘积”= A(A 2)=(“首尾两数的乘积” 1)^2-1=(A 1)2-1

总算找到了“为什么一定要这样结合”的数理之根源。

(备注:1*2*3*4 1=(1*4)*(2*3) 1=4*6 1=[(4 1)-1)]*[(4 1) 1] 1=(5-1)*(5 1) 1=5^2-1 1=5^2。因为这个数理等式含有推导,其中也有(4)这种平方差公式的拓展变化。所以我会通过上面最简单的实际数例来记它。)

知道“四个整数连乘”说了什么,对于开始的题目就不难解了:

(1):X^2-1=355*356*357*358,求X的值

解:X^2-1=355*356*357*358

X^2=355*356*357*358 1

=(355*358)*(356*357) 1

=[(355*358 1)-1]* [(355*358 1) 1] 1

=(355*358 1)^2-1^2 1

=(355*358 1)^2

所以:X=±(355*358 1)=±127091

因此注重其推导,并理解后,X2就等于“首尾两个数的乘积并加1”的平方了,只不过增加了计算量。

当然除了会做这类题以外,还找到了出题的方向,能随意出题了,不是吗?

出题的方向,其形式如下:

X^2-1=“任意四个连续整数相乘”

X^2=“任意四个连续整数相乘” 1

我就不出题了,有兴趣的朋友自己出几个题目试试?

“如果会出题了,还会怕做题吗?”这是我一惯的想法。

整数相乘最好举例(任意四个连续整数相乘的基本数理及拓展思考)(3)

数学类比参考点图


声明:以下内容只是个人的构思与想法,仅是个人的浅见。不作为解题的步骤,也与考试无关。其中的拓展思考仅作参考。由于其中部分的数理是靠自己猜想后,进行推理出来的。如有不当之处,还请斧正。

1、如果是任意四个连续的偶数的乘积加几必定是一个平方数?

先从以下三组最简单的“任意四个连续的偶数的乘积”开始分析:

第一组:2*4*6*8,

第二组:4*6*8*10

第三组:6*8*10*12

第一组乘法的结合律有以下三种形式:

  1. 2*4*6*8=(2*4)*(6*8)=8*48
  2. 2*4*6*8=(2*6)*(4*8)=12*32
  3. 2*4*6*8=(2*8)*(4*6)=16*24

第二组乘法的结合律有以下三种形式:

  1. l4*6*8*10=(4*6)*(8*10)=24*80
  2. 4*6*8*10=(4*8)*(6*10)=32*60
  3. 4*6*8*10=(4*10)*(6*8)=40*48

第三组乘法的结合律有以下三种形式:

  1. 6*8*10*12=(6*8)*(10*12)=48*120
  2. 6*8*10*12=(6*10)*(8*12)=60*96
  3. 6*8*10*12=(6*12)*(8*10)=72*80

再仔细对比这几组数,同样发现一个有规律的现象,每组中第3种结合方式中,“中间两数相乘的积”与“首尾两数相乘的积”之差都是8.

如下:

16*24中,24-16=8,

40*48中,48-40=8,

72*80中,80-72=8,

再对每组数中的第3种结合进行再次的分解:

  1. 2*4*6*8=(2*8)*(4*6)=16*24= (20-4)*(20 4)=20^2-4^2
  2. 4*6*8*10=(4*10)*(6*8)=40*48=(44-4)*(44 4)=44^2-4^2

3、6*8*10*12=(6*12)*(8*10)=72*80=(76-4)*(76 4)=76^2-4^2

这三组数都是多么有规律,都是“-4^2”

2、如果是任意四个连续的奇数的乘积加几必定是一个平方数?

先从以下三组最简单的“任意四个连续的偶数的乘积”开始分析:

第一组:1*3*5*7,

第二组:3*5*7*9

第三组:5*7*9*11

第一组,乘法的结合律有以下三种形式:

  1. 1*3*5*7=(1*3)*(5*7)=3*35
  2. 1*3*5*7=(1*5)*(3*7)=5*21
  3. 1*3*5*7=(1*7)*(3*5)=7*15

第二组,乘法的结合律有以下三种形式:

  1. 3*5*7*9=(3*5)*(7*9)=15*63
  2. 3*5*7*9=(3*7)*(5*9)=21*45
  3. 3*5*7*9=(3*9)*(5*7)=27*35

第三组,乘法的结合律有以下三种形式:

  1. l5*7*9*11=(5*7)*(9*11)=35*99
  2. 5*7*9*11=(5*9)*(7*11)=45*77
  3. 5*7*9*11=(5*11)*(7*9)=55*63

再仔细对比这几组数,同样发现一个有规律的现象,每组中第3种结合方式中,“中间两数相乘的积”与“首尾两数相乘的积”之差都是8.

如下:

7*15中,15-7=8,

27*35中,35-27=8,

55*63中,63-55=8,

再对每组数中的第3种结合进行再次的分解:

  1. 1*3*5*7=(1*7)*(3*5)=7*15-= (11-4)*(11 4)=11^2-4^2
  2. 3*5*7*9=(3*9)*(5*7)=27*35=(31-4)*(31 4)=31^2-4^2
  3. 5*7*9*11=(5*11)*(7*9)=55*63=(59-4)*(59 4)=59^2-4^2

这三组数同样多么有规律,都是“-4^2”

大胆的猜想如下:

1、任意四个连续的偶数的乘积加16必定是一个平方数。

2、任意四个连续的奇数的乘积加16必定是一个平方数。

设:a是自然数,任意四个连续的偶数分别是2a,2a 2,2a 4,2a 6

(2a*(2a 2)*(2a 4)*(2a 6)=2^4[a*(a 1)(a 2)(a 3)](因式中提取2后,此处又变成了任意四个连续整数连乘的形式)

=2^4[a*(a 3)(a 1)(a 2)](首尾相乘的积与中间两数之积相乘)

=2^4[a*(a 3) 1]^2-1]

=2^4[a*(a 3) 1]^2-2^4

=[2^2(a^2 3a 1)]^2-2^4

=[2^2(a^2 3a 1)]^2-16

由此可见:

2a*(2a 2)*(2a 4)*(2a 6) 16=[2^2(a^2 3a 1)]^2-2^4 16=[2^2(a^2 3a 1)]^2

这个平方数是:[2^2(a^2 3a 1)]^2

所以“任意四个连续的偶数的乘积加16必定是一个平方数”是正确的。

设:a是自然数,任意四个连续的奇数分别是:2a 1,2a 3,2a 5,2a 7.

(2a 1)*(2a 3)*(2a 5)*(2a 7)=(2a 1)*(2a 3)*(2a 5)*(2a 7)

=(2a 1) *(2a 7)*(2a 3)*(2a 5)

=(4a^2 16a 7)(4a^2 16a 15)

=[(4a^2 16a 11)-4]*[(4a^2 16a 11) 4]

=(4a^2 16a 11)^2-4^2

由此可见:

(2a 1)*(2a 3)*(2a 5)*(2a 7) 16=(4a^2 16a 11)2-4^2 16=(4a^2 16a 11)^2

这个平方数是:(4a^2 16a 11)^2

所以“任意四个连续的奇数的乘积加16必定是一个平方数”是正确的。

3、对于任意四个数有没有其它方式的进行连续?如果有其乘积加几必定是一个平方数?

4、因此也对于题目中“连续”两字产生了疑惑,“数的连续”具体是以什么方式进行连续的呢?

首先对 “连续”两个字提出自己的看法:

我们经常会说四个连续的整数,实际上四个连续的整数之间的相差为1,即步长为1。

个人认为数的连续是以“步长”为方式进行连续的。

例如下面三组数的连续是步长为3的四个连续的整数相乘形成:

1*4*7*10

2*5*8*11

3*6*9*12

当然还有步长为:4、5、6….等等,四个连续的整数相乘的形式。

个人感想:在数学中,思考的终级目的是如何快速计算,快速计算的方法是寻找通项式。

如何来找不同步长的四个连续的整数相乘的通项式呢?又能找到吗?

先对第3个小问题转化为如下的描述:

以任意“步长”作为连续的四个整数的乘积加几必定是一个平方数。(步长为整数)

推理:

假设: a为任意整数,d为任意步长为整数,“任意“步长”作为连续的四个整数”:a,a d,a 2d,a 3d

a(a d)(a 2d)(a 3d)= a(a 3d)(a 1d)(a 2d)=(a^2 3da)(a^2 3da 2d^2)

= [(a^2 3da d^2)- d^2][(a^2 3da d^2) d^2]

= (a^2 3da d^2)^2- (d^2)^2

= (a^2 3da d^2)^2- d^4

由结果可知:因此加上d^4 ,(a^2 3da d^2)^2就刚好是一个平方数。

结论如下:

以任意“步长”作为连续的四个整数的乘积加“步长的四次方”必定是一个平方数。(步长为整数)

验证:

1、d=1时,

a(a d)(a 2d)(a 3d) d^4= (a^2 3da d^2)2- (d^2)^2 d^4

=(a^2 3da d^2)^2

= (a^2 3a 1)^2

与上面“4.证明任意四个连续整数的乘积加1必定是一个平方数。”的结果是一样的,都是:(a^2 3a 1)^2

2、当d=2时,

a(a d)(a 2d)(a 3d) d^4= (a^2 3da d^2)^2- d^4 d^4=(a^2 3da d^2)2=(a^2 6a 4)^2

a) n为整数,当a=2N时四个数才是偶数。其代入得:

(a^2 6a 4)^2=((2n)^2 6*(2n) 4)^2=[2^2(n^2 3n 1)]^2

与我自己证明的“任意四个连续的偶数的乘积加16必定是一个平方数。”中的平方数是:[2^2(a2 3a 1)]^2与验证中[2^2(n^2 3n 1)]^2从数理上是等价的,(因为a,n都是任意整数)

b) n为整数,当a=2N 1时四个数才是奇数。其代入得:

(a^2 6a 4)^2=((2n 1)^2 6*(2n 1) 4)^2=[4n^2 16n 11)]^2

与我自己证明的“任意四个连续的奇数的乘积加16必定是一个平方数。”中的平方数是(4a^2 16a 11)^2与验证中[4n^2 16n 11)]^2从数理上是等价的。(因为a,n都是任意整数)

由此可见,从数理上是正确的。

当然进一步可以推广到实数范围。其数理便做如下修改:

“以任意“步长”作为连续的四个连续的数的乘积加“步长的四次方”必定是一个数的平方。”

(注:平方数是指可以写成某个整数的平方的数。这里把“一个平方数”改为“一个数的平方”,把“四个连续的整数”改为“四个连续的数”,数就不一定是整数了,是实数,步长也是实数。

验证举例:

1、利用计算器计算:

X^2=1.1*2.3*3.5*4.7 1.2^4=43.6921=6.61^2

X^2=6.61^2

X=±6.61

2、利用公式计算:

此处:a=1.1,d=1.2 (都是不整数了)将其代入下面方程中

X^2=(a^2 3da d^2)^2= (a^2 3a 1)^2=(1.1^2 3*1.1*1.2 1.2^2)^2

X^2=(1.1^2 3*1.1*1.2 1.2^2)^2

X=±(1.1^2 3*1.1*1.2 1.2^2)= ±6.61

其结果是一样的。

由此可见,

X^2-d^4=a(a d)(a 2d)(a 3d)

对于复数是不是也成立呢?

暂时就不举例了,有兴趣的爱好者可以试试?


总结分析问题的步骤如下:

1. 首先刨根问底,追根溯源。如找到这种四个连续整数相乘的数理来源。

2. 其次找到其证明过程。

3. 然后查看证明过程中数理步骤的逻辑及方法,反复询问自己是否有不解之处?永远抱有99%的相信度,但保留1%的怀疑度。有时并非要怀疑其正确性,而是考查其数理变化是否穷尽?

4. 再次追寻先辈之脚步,先从最简单的具体的数开始来进行推理,再慢慢过渡到抽象的数(未知数),学习证明过程的归纳方法与手段。学会后,还要能自出这类题目

5. 最后通过思考,利用最简的模型来进行类比。用自己的语言来总结其变化规律,从而达到永远记住。


题外拓展:

当未知数在四个连续的数中如何解?

其拓展形式如下:

(X 1)(X 2)(X 3)(X 4)=3024,求X的值?

我又能否找到思考的方向吗?

我又能找到出题的方法吗?

我又能穷尽其变化吗?

我又能得出什么结论吗?

【叁考:3024=6*7*8*9,或3024=(-9)*(-8)*(-7)*(-6)】


一个问题接一个问题永远没有尽头,也许这就是数学迷人的地方吧!

最后引用数学家高斯的一句话作为结束语:

“在数论中由于意外的幸运颇为经常,所以用归纳法可萌发出极漂亮的新的真理。”--高斯(Guass)

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