最近有时在网络视频教学中，看到关于任意四个连续整数相乘的方程讲解，总感觉意犹未尽，一时兴起，对四个连续整数相乘的数理及拓展，发表一下个人之浅见，不当之处，还请斧正。
先把其中一个方程，摘抄如下：
（1）：X^2-1=355*356*357*358，求X的值？
暂时先不谈其解法，还是先从以下几个步骤着手来分析。
一、 首先刨根问底，追根溯源，先搞清楚“四个连续整数相乘”具体说了什么，也许方程就不攻自破了。“为什么会有这样的题目出现，是空穴来风吗？”
“对于这样的四个连续整数相乘的方程，其数理根源到底是从哪里来的？”
反复通过查询资料，终于发现在陈景润的《初等数论1》第32页的第一章习题中有一个证明题，第4小题具体摘抄如下：
“4.证明任意四个连续整数的乘积加1必定是一个平方数。”
书本上摘抄如下图：
书上的证明习题
如果对方程“X^2-1=355*356*357*358”改变一下形式，变成“X^2=355*356*357*358 1”就与这个证明题中的描述完全符合了。
个人认为：这个证明题就是“四个连续整数相乘的方程”这类题型的数理根源。
（备注：因为手头资料有限，当然是不是只有这本书中有，我不得而知，具体是谁发现的，也未作考究。暂且把它当作数理根源吧！）
二、 其次是找到其证明过程。刚好其书上有证明的过程（陈景润的《初等数论1》第93-94页处）。
原文证明过程摘抄如下：
证明：我们以a，(a 1)，(a 2)，(a 3)代表四个连续整数，其中a是一个整数，则
a(a 1)(a 2)(a 3)=(a^2 3a)(a^2 3a 2)=[(a^2 3a 1)-1][(a^2 3a 1) 1]=（a^2 3a 1）^2-1
上式右端括弧内a^2 3a 1是一个整数，故（a^2 3a 1）^2是一个平方数。
书上证明过程具体如下图：
书上的证明步骤
三、 仔细查看证明过程中数理的步骤及逻辑方法，反复询问自己是否有不解之处？当然证明的步骤与逻辑方法肯定是没有问题的。通过数的分解，成功地分离出了一个“-1”，得到了一个平方数：（a^2 3a 1）^2。
对于其中的每一个步骤自己是否都懂了呢?
对于表达式中“a(a 1)(a 2)(a 3)=(a^2 3a)(a^2 3a 2)”中少了一个乘法结合律的步骤: a(a 1)(a 2)(a 3)=[a(a 3)][(a 1)(a 2)] =(a^2 3a)(a^2 3a 2)。
实际上就是：“首尾两数相乘的积”与“中间两数相乘的积”再相乘。
- 对于步骤有一个疑问：为什么一定要这样结合，其数理根源在哪里？
- 从拓展的角度对自己提出以下的几个问题：
1、如果是任意四个连续的偶数的乘积加几必定是一个平方数？
2、如果是任意四个连续的奇数的乘积加几必定是一个平方数？
3、对于任意四个数有没有其它方式的进行连续？如果有其乘积加几必定是一个平方数？
4、因此也对于题目中“连续”两字产生了疑惑，“数的连续”具体是以什么方式进行连续的呢？
带着上面的几个疑问，便开始下面的自我探索之旅。
四、 再次追寻先辈之脚步，先从最简单又具体的数开始进行分析。- 对于步骤中的一个疑问：为什么一定要这样结合，其数理根源在哪里？
从下面三组最简单的“四个连续的整数”开始分析。
如下：
第一组: 1*2*3*4，
第二组: 2*3*4*5
第三组: 3*4*5*6
第一组：乘法的结合律有以下三种形式：
- 1*2*3*4=（1*2）*（3*4）=2*12
- 1*2*3*4=（1*3）*（2*4）=3*8
- 1*2*3*4=（1*4）*（2*3）=4*6
第二组：乘法的结合律有以下三种形式：
- 2*3*4*5=（2*3）*（4*5）=6*20
- 2*3*4*5=（2*4）*（3*5）=8*15
- 2*3*4*5=（2*5）*（3*4）=10*12
第三组：乘法的结合律有以下三种形式：
- 3*4*5*6=（3*4）*（5*6）=12*30
- 3*4*5*6=（3*5）*（4*6）=15*24
- 3*4*5*6=（3*6）*（4*5）=18*20
仔细对比这几组数，发现一个有规律的现象，每组中第3种结合方式中“中间两数相乘的积”与“首尾两数相乘的积”之差都是2.
具体如下：
4*6中，6-4=2，
10*12中，12-10=2，
18*20中，20-18=2，
由此猜想：四个连续整数的中间两数之积总比首尾两数之积大2。
由上例证明题中可知：
a(a 1)(a 2)(a 3) =[ a(a 3)]*[(a 1)(a 2)] =(a^2 3a)*(a^2 3a 2)
得出"中间两数之积"减"首尾两数之积"：(a^2 3a 2) -(a^2 3a)=2
由此可以证明猜想是正确的。
这有什么用呢？
很容易联想到平方差的公式：
(A B)(A-B)=A^2-B^2
当B=1时，其形式如下：
(A 1)(A-1)=A^2-1^2= A^2-1
其中(A 1)-(A-1)=2,是巧合吗？
平方差公式的拓展变化形式之一：
A(A 2)= [(A 1)-1]*[(A 1) 1]=(A 1)^2-1^2=(A 1)^2-1 ---（4）
其中后面的数比前面的数大2：(A 2)-A=2。
通过比较得出以下结论：四个连续整数相乘的中间两数的乘积与首尾两数的乘积之差是2，刚好以构成（4）中平方差形式。
因为：“中间两数的乘积”-“首尾两数的乘积”=2
设“首尾两数的乘积”=A,则 “中间两数的乘积”= A 2
所以：四个连续整数相乘=“首尾两数的乘积” *“中间两数的乘积”= A(A 2)=（“首尾两数的乘积” 1）^2-1=(A 1)2-1
总算找到了“为什么一定要这样结合”的数理之根源。
（备注：1*2*3*4 1=(1*4)*(2*3) 1=4*6 1=[(4 1)-1)]*[(4 1) 1] 1=(5-1)*(5 1) 1=5^2-1 1=5^2。因为这个数理等式含有推导，其中也有（4）这种平方差公式的拓展变化。所以我会通过上面最简单的实际数例来记它。）
知道“四个整数连乘”说了什么，对于开始的题目就不难解了：
（1）：X^2-1=355*356*357*358，求X的值
解：X^2-1=355*356*357*358
X^2=355*356*357*358 1
=(355*358)*(356*357) 1
=[(355*358 1)-1]* [(355*358 1) 1] 1
=(355*358 1)^2-1^2 1
=(355*358 1)^2
所以：X=±(355*358 1)=±127091
因此注重其推导,并理解后，X2就等于“首尾两个数的乘积并加1”的平方了，只不过增加了计算量。
当然除了会做这类题以外，还找到了出题的方向，能随意出题了，不是吗？
出题的方向，其形式如下：
X^2-1=“任意四个连续整数相乘”
或
X^2=“任意四个连续整数相乘” 1
我就不出题了，有兴趣的朋友自己出几个题目试试？
“如果会出题了，还会怕做题吗？”这是我一惯的想法。
数学类比参考点图
声明：以下内容只是个人的构思与想法，仅是个人的浅见。不作为解题的步骤，也与考试无关。其中的拓展思考仅作参考。由于其中部分的数理是靠自己猜想后，进行推理出来的。如有不当之处，还请斧正。
- 对拓展的角度中第1个小问题：
1、如果是任意四个连续的偶数的乘积加几必定是一个平方数？
先从以下三组最简单的“任意四个连续的偶数的乘积”开始分析：
第一组：2*4*6*8，
第二组：4*6*8*10
第三组：6*8*10*12
第一组乘法的结合律有以下三种形式：
- 2*4*6*8=（2*4）*（6*8）=8*48
- 2*4*6*8=（2*6）*（4*8）=12*32
- 2*4*6*8=（2*8）*（4*6）=16*24
第二组乘法的结合律有以下三种形式：
- l4*6*8*10=（4*6）*（8*10）=24*80
- 4*6*8*10=（4*8）*（6*10）=32*60
- 4*6*8*10=（4*10）*（6*8）=40*48
第三组乘法的结合律有以下三种形式：
- 6*8*10*12=（6*8）*（10*12）=48*120
- 6*8*10*12=（6*10）*（8*12）=60*96
- 6*8*10*12=（6*12）*（8*10）=72*80
再仔细对比这几组数，同样发现一个有规律的现象，每组中第3种结合方式中，“中间两数相乘的积”与“首尾两数相乘的积”之差都是8.
如下：
16*24中，24-16=8，
40*48中，48-40=8，
72*80中，80-72=8，
再对每组数中的第3种结合进行再次的分解：
- 2*4*6*8=（2*8）*（4*6）=16*24= (20-4)*(20 4)=20^2-4^2
- 4*6*8*10=（4*10）*（6*8）=40*48=(44-4)*(44 4)=44^2-4^2
3、6*8*10*12=（6*12）*（8*10）=72*80=(76-4)*(76 4)=76^2-4^2
这三组数都是多么有规律，都是“-4^2”
- 对拓展的角度中第2个小问题：
2、如果是任意四个连续的奇数的乘积加几必定是一个平方数？
先从以下三组最简单的“任意四个连续的偶数的乘积”开始分析：
第一组：1*3*5*7，
第二组：3*5*7*9
第三组：5*7*9*11
第一组，乘法的结合律有以下三种形式：
- 1*3*5*7=（1*3）*（5*7）=3*35
- 1*3*5*7=（1*5）*（3*7）=5*21
- 1*3*5*7=（1*7）*（3*5）=7*15
第二组，乘法的结合律有以下三种形式：
- 3*5*7*9=（3*5）*（7*9）=15*63
- 3*5*7*9=（3*7）*（5*9）=21*45
- 3*5*7*9=（3*9）*（5*7）=27*35
第三组，乘法的结合律有以下三种形式：
- l5*7*9*11=（5*7）*（9*11）=35*99
- 5*7*9*11=（5*9）*（7*11）=45*77
- 5*7*9*11=（5*11）*（7*9）=55*63
再仔细对比这几组数，同样发现一个有规律的现象，每组中第3种结合方式中，“中间两数相乘的积”与“首尾两数相乘的积”之差都是8.
如下：
7*15中，15-7=8，
27*35中，35-27=8，
55*63中，63-55=8，
再对每组数中的第3种结合进行再次的分解：
- 1*3*5*7=（1*7）*（3*5）=7*15-= (11-4)*(11 4)=11^2-4^2
- 3*5*7*9=（3*9）*（5*7）=27*35=(31-4)*(31 4)=31^2-4^2
- 5*7*9*11=（5*11）*（7*9）=55*63=(59-4)*(59 4)=59^2-4^2
这三组数同样多么有规律，都是“-4^2”
大胆的猜想如下：
1、任意四个连续的偶数的乘积加16必定是一个平方数。
2、任意四个连续的奇数的乘积加16必定是一个平方数。
- 1、证明：任意四个连续的偶数的乘积加16必定是一个平方数。
设：a是自然数，任意四个连续的偶数分别是2a,2a 2,2a 4,2a 6
(2a*(2a 2)*(2a 4)*(2a 6)=2^4[a*(a 1)(a 2)(a 3)](因式中提取2后，此处又变成了任意四个连续整数连乘的形式)
=2^4[a*(a 3)(a 1)(a 2)]（首尾相乘的积与中间两数之积相乘）
=2^4[a*(a 3) 1]^2-1]
=2^4[a*(a 3) 1]^2-2^4
=[2^2(a^2 3a 1)]^2-2^4
=[2^2(a^2 3a 1)]^2-16
由此可见：
2a*(2a 2)*(2a 4)*(2a 6) 16=[2^2(a^2 3a 1)]^2-2^4 16=[2^2(a^2 3a 1)]^2
这个平方数是：[2^2(a^2 3a 1)]^2
所以“任意四个连续的偶数的乘积加16必定是一个平方数”是正确的。
- 2、证明：任意四个连续的奇数的乘积加16必定是一个平方数。
设：a是自然数，任意四个连续的奇数分别是：2a 1,2a 3,2a 5,2a 7.
(2a 1)*(2a 3)*(2a 5)*(2a 7)=(2a 1)*(2a 3)*(2a 5)*(2a 7)
=(2a 1) *(2a 7)*(2a 3)*(2a 5)
=（4a^2 16a 7）(4a^2 16a 15)
=[（4a^2 16a 11）-4]*[(4a^2 16a 11) 4]
=（4a^2 16a 11）^2-4^2
由此可见：
(2a 1)*(2a 3)*(2a 5)*(2a 7) 16=（4a^2 16a 11）2-4^2 16=（4a^2 16a 11）^2
这个平方数是：（4a^2 16a 11）^2
所以“任意四个连续的奇数的乘积加16必定是一个平方数”是正确的。
- 对拓展的角度中第3和4个小问题一起来讨论：
3、对于任意四个数有没有其它方式的进行连续？如果有其乘积加几必定是一个平方数？
4、因此也对于题目中“连续”两字产生了疑惑，“数的连续”具体是以什么方式进行连续的呢？
首先对 “连续”两个字提出自己的看法：
我们经常会说四个连续的整数，实际上四个连续的整数之间的相差为1，即步长为1。
个人认为数的连续是以“步长”为方式进行连续的。
例如下面三组数的连续是步长为3的四个连续的整数相乘形成：
1*4*7*10
2*5*8*11
3*6*9*12
当然还有步长为：4、5、6….等等，四个连续的整数相乘的形式。
个人感想：在数学中，思考的终级目的是如何快速计算，快速计算的方法是寻找通项式。
如何来找不同步长的四个连续的整数相乘的通项式呢？又能找到吗？
先对第3个小问题转化为如下的描述：
以任意“步长”作为连续的四个整数的乘积加几必定是一个平方数。（步长为整数）
推理：
假设: a为任意整数，d为任意步长为整数，“任意“步长”作为连续的四个整数”：a,a d,a 2d,a 3d
a(a d)(a 2d)(a 3d)= a(a 3d)(a 1d)(a 2d)=(a^2 3da)(a^2 3da 2d^2)
= [(a^2 3da d^2)- d^2][(a^2 3da d^2) d^2]
= (a^2 3da d^2)^2- (d^2)^2
= (a^2 3da d^2)^2- d^4
由结果可知：因此加上d^4 ，(a^2 3da d^2)^2就刚好是一个平方数。
结论如下:
以任意“步长”作为连续的四个整数的乘积加“步长的四次方”必定是一个平方数。（步长为整数）
验证：
1、d=1时，
a(a d)(a 2d)(a 3d) d^4= (a^2 3da d^2)2- (d^2)^2 d^4
=(a^2 3da d^2)^2
= (a^2 3a 1)^2
与上面“4.证明任意四个连续整数的乘积加1必定是一个平方数。”的结果是一样的，都是:(a^2 3a 1)^2
2、当d=2时，
a(a d)(a 2d)(a 3d) d^4= (a^2 3da d^2)^2- d^4 d^4=(a^2 3da d^2)2=(a^2 6a 4)^2
a) n为整数，当a=2N时四个数才是偶数。其代入得：
(a^2 6a 4)^2=((2n)^2 6*(2n) 4)^2=[2^2(n^2 3n 1)]^2
与我自己证明的“任意四个连续的偶数的乘积加16必定是一个平方数。”中的平方数是:[2^2(a2 3a 1)]^2与验证中[2^2(n^2 3n 1)]^2从数理上是等价的，(因为a,n都是任意整数）
b) n为整数，当a=2N 1时四个数才是奇数。其代入得：
(a^2 6a 4)^2=((2n 1)^2 6*(2n 1) 4)^2=[4n^2 16n 11)]^2
与我自己证明的“任意四个连续的奇数的乘积加16必定是一个平方数。”中的平方数是（4a^2 16a 11）^2与验证中[4n^2 16n 11)]^2从数理上是等价的。(因为a,n都是任意整数）
由此可见，从数理上是正确的。
当然进一步可以推广到实数范围。其数理便做如下修改：“以任意“步长”作为连续的四个连续的数的乘积加“步长的四次方”必定是一个数的平方。”
（注：平方数是指可以写成某个整数的平方的数。这里把“一个平方数”改为“一个数的平方”，把“四个连续的整数”改为“四个连续的数”，数就不一定是整数了，是实数，步长也是实数。
验证举例：
1、利用计算器计算：
X^2=1.1*2.3*3.5*4.7 1.2^4=43.6921=6.61^2
X^2=6.61^2
X=±6.61
2、利用公式计算：
此处：a=1.1,d=1.2 （都是不整数了）将其代入下面方程中
X^2=(a^2 3da d^2)^2= (a^2 3a 1)^2=(1.1^2 3*1.1*1.2 1.2^2)^2
X^2=(1.1^2 3*1.1*1.2 1.2^2)^2
X=±(1.1^2 3*1.1*1.2 1.2^2)= ±6.61
其结果是一样的。
由此可见，
X^2-d^4=a(a d)(a 2d)(a 3d)
对于复数是不是也成立呢？
暂时就不举例了，有兴趣的爱好者可以试试？
总结分析问题的步骤如下：
1. 首先刨根问底，追根溯源。如找到这种四个连续整数相乘的数理来源。
2. 其次找到其证明过程。
3. 然后查看证明过程中数理步骤的逻辑及方法，反复询问自己是否有不解之处？永远抱有99%的相信度，但保留1%的怀疑度。有时并非要怀疑其正确性，而是考查其数理变化是否穷尽？
4. 再次追寻先辈之脚步，先从最简单的具体的数开始来进行推理，再慢慢过渡到抽象的数（未知数），学习证明过程的归纳方法与手段。学会后，还要能自出这类题目。
5. 最后通过思考，利用最简的模型来进行类比。用自己的语言来总结其变化规律，从而达到永远记住。
题外拓展：
当未知数在四个连续的数中如何解？
其拓展形式如下：
(X 1)(X 2)(X 3)(X 4)=3024，求X的值?
我又能否找到思考的方向吗？
我又能找到出题的方法吗？
我又能穷尽其变化吗？
我又能得出什么结论吗？
【叁考：3024=6*7*8*9，或3024=（-9）*（-8）*（-7）*(-6）】
一个问题接一个问题永远没有尽头，也许这就是数学迷人的地方吧！
最后引用数学家高斯的一句话作为结束语：“在数论中由于意外的幸运颇为经常，所以用归纳法可萌发出极漂亮的新的真理。”--高斯（Guass）
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