近年来以几何图形的运动为载体，求几何图形在运动过程中，图形上某一动点所经过的路径的长度在各类几何试卷中频频出现。解决这类问题时，首先要弄清点在运动过程中，其路径的形状是什么图形，计算出动点运动的起点和终点，再根据相关计算公式计算出路径的长度。
类型1 路径为线段
例1．（2018秋•江汉区校级月考）如图，Rt△ABC中，AB＝AC＝3，点D是AB上一点，以CD为边作等边△CDE，使A、E位于BC异侧．当D点从A点运动到B点，E点运动的路径长为（ ）
A．3B．2√2C．3√2D．3√3
【分析】如图，作等边三角形△BCH，连接EH．由△DCB≌△ECH（SAS），推出BD＝EH，可得点E的运动轨迹＝线段AB的长＝3；
【解答】如图，作等边三角形△BCH，连接EH．
∵△CDE，△BCH都是等边三角形，
∴∠DCE＝∠BCH，∴∠DCB＝∠ECH，
∵CD＝CE，CB＝CH，∴△DCB≌△ECH（SAS），∴BD＝EH，
∴点E的运动轨迹＝线段AB的长＝3，故选：A．
【点评】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轨迹等知识，解题的关键是正确寻找点E的运动轨迹，属于中考常考题型．
例2．（2018秋•东营区校级月考）如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为_______
【分析】连接OC，OM、CM，如图，利用斜边上的中线性质得到OM＝1/2PQ，CM＝1/2PQ，则OM＝CM，于是可判断点M在OC的垂直平分线上，则点M运动的轨迹为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质求解．
【解答】如图，连接OC，OM、CM，
∵M为PQ的中点，∴OM＝1/2PQ，CM＝1/2PQ，∴OM＝CM，
∴点M在OC的垂直平分线上，∴点M运动的轨迹为△ABC的中位线，
∴点M所经过的路线长＝1/2AB＝1．故答案为1．
【点评】本题考查了轨迹：通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹．也考查了等腰直角三角形的性质．
例3．（2018秋•赣榆区期中）如图，线段AB上有C、D两点，AB＝6，AC＝BD＝1，点P是线段CD上的一个动点，分别以PA、PB为斜边在线段AB的同侧作等腰直角三角形MAP和等腰直角三角形NBP，连接MN，当点P从点C运动到点D的过程中，△PMN的外接圆圆心经过的路程是_______．
【分析】分别延长AM、BN交于点F，易证△MPN是直角三角形，即△PMN的外接圆圆心是MN的中点O，由于四边形MPNF为平行四边形，得出O为PF中点，设点P从距离A点1cm处C沿AB向右运动至距离B点1cm处N，则O的运行轨迹为△CDF的中位线GH．运用中位线的性质求出GH的长度即可．
【解答】如图，分别延长AM、BN交于点F．
∵△AMP和△PNB都是等腰直角三角形，且∠AMP＝∠BNP＝90°
∵∠A＝∠APM＝∠BPN＝∠B＝45°，
∴∠MPN＝90°，∴△MPN是直角三角形，
∴△PMN的外接圆的圆心是MN的中点O，
∵∠A＝∠BPN，∴AF∥PN，
同理，PM∥BN，∴四边形MPNF为平行四边形，∴PF与MN互相平分．
∵O为MN的中点，
∴O为PF中点，即在P的运动过程中，O始终为FP的中点，所以O的运行轨迹为三角形FCD的中位线G，．
∵CD＝AB﹣AC﹣BD＝6﹣1﹣1＝4，
∴GH＝1/2CD＝2，即，△PMN的外接圆圆心经过的路程是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形中位线的性质、平行四边形的判定和性质，以及动点问题，是中考的热点，解题的关键是正确寻找点R的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．
类型2 路径为圆弧
例4.（2018秋•江都区校级月考）如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM、PM．当点P在半圆上从点B运动到点A时，内心M所经过的路径长为_______．
【分析】分两种情况，当点M在扇形BOC和扇形AOC内，先求出∠CMO＝135°，进而判断出点M的轨迹，再求出∠OO'C＝90°，最后用弧长公式即可得出结论．
【解答】∵△OPE的内心为M，∴∠MOP＝∠MOC，∠MPO＝∠MPE，
∴∠PMO＝180°﹣∠MPO﹣∠MOP＝180°﹣1/2（∠EOP ∠OPE），
∵PE⊥OC，即∠PEO＝90°，
∴∠PMO＝180°﹣1/2（∠EOP ∠OPE）＝180°﹣1/2（180°﹣90°）＝135°，
如图，∵OP＝OC，OM＝OM，而∠MOP＝∠MOC，
∴△OPM≌△OCM（SAS），∴∠CMO＝∠PMO＝135°，
所以点M在以OC为弦，并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上（弧OMC和弧ONC）；点M在扇形BOC内时，过C、M、O三点作⊙O′，连O′C，O′O，
在优弧CO取点D，连DA，DO，
∵∠CMO＝135°，∴∠CDO＝180°﹣135°＝45°，
∴∠CO′O＝90°，而OA＝2cm，
【点评】本题考查了弧长的计算公式，三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．
例5.（2018秋•柯桥区期中）如图，一块∠BAC为30°的直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点E在量角器的圆弧边缘处从A到B运动，连接CE，交直径AB于点D．
（1）当点E在量角器上对应的刻度是90°时，则∠ADE的度数为_____ ；
（2）若AB＝8，P为CE的中点，当点E从A到B的运动过程中，点P也随着运动，则点P所走过的路线长为______
【分析】（1）连接OE．根据∠ACE＝1/2∠AOE＝45°，∠ADE＝∠A ∠ACE求解即可；
（2）连接OP，设OC的中点为O′．由PE＝PC，推出OP⊥EC，推出∠OPC＝90°，推出点P的运动轨迹是以OC为直径的半圆，由此即可解决问题；
【解答】（1）如图，连接OE．
∵直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，∴点A，E，B，C共圆，
∵点E对应的刻度是90°，∴∠AOE＝90°，
∴∠ACE＝1/2∠AOE＝45°，∴∠ADE＝∠A ∠ACE＝75°．故答案为75°．
（2）连接OP，设OC的中点为O′．
∵PE＝PC，∴OP⊥EC，∴∠OPC＝90°，
∴点P的运动轨迹是以OC为直径的半圆，
∵OC＝1/2AB＝4，∴OO′＝1/2OC＝2，
∴点P的运动路径的长为π•2＝2π，故答案为2π
【点评】本题考查轨迹，圆周角定理，垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会正确寻找点的运动轨迹，属于中考常考题型．
方法总结：在点的运动中，点的位置在不断变化，由此引发的是许多线段的长度和位置也随之改变，而解决数学问题则需要在这个变化过程中，寻找其变化规律以及不随点的运动而改变的性质。
中考中关于点的运动轨迹形状，通常有两种可能，一是轨迹是线段，如在坐标系中只要求出两端点的坐标就可求得路径长；二是轨迹为圆弧，此时先确定圆弧所在圆心半径，再确定圆心角就可利用弧长公式求得路径长，
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