A.思维模型综述
学习的本质，除了记住哪些知识之外，更重要的是在它触发了你的思考。解题，无疑是学好数学的最佳途径。解题时，学生们务必注重提醒自己时刻准备训练数学思维。"千淘万漉虽辛苦，吹尽狂沙始到金"这句话真实的传达出了我们自己的主题：刷百题不如吃透一题，悟透一题，举一反三，触类旁通，把每一道题都做精，通过思维拓展，借题发挥，探索其中的内在规律和方法，达成"做一题，通一类，会一片"的目标 。
解直角三角形的应用问题是在已有的三角函数知识基础上，综合运用数形结合思想、方程思想等数学思想方法来解决实际问题，这类题目是近几年中考的必考题型，考察内容有方位角、仰角、俯角、坡度、工程等等。因此，熟练掌握几种典型的背景图，有助于我们顺利建立数学模型，进而高效地解决此类问题.
在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合视角知识构造直角三角形，利用三角函数或相似三角形来解决问题．常见的构造的基本图形有如下几种：
1. 不同地点看同一点(如图1)；②同一地点看不同点(如图2)；
2. 利用反射构造相似(如图3)．
利用模型思想求解问题是数学解题的重要思想，一个模型就可以解决一大类题目，下面我们把解直角三角形的应用题目中的模型进行了分类研究，大家把每一种模型的细节研究透，把省略的解题步骤补充完整，将会很快掌握这四个背景图，从而在解决这类问题时得心应手.
锐角三角函数的魅力在于应用,它起到了工具的作用,通常用来解决有关测量、航海、工程技术等生活中的实际问题,它往往与三角形、四边形的内容综合.测高(或宽)问题是中考热点考题,解决的方法是通过做垂线段或高,构造直角三角形,在直角三角形中解决问题,这就是化斜为直的思想.
在做选择题、填空题时可以将此结论当作公式,将此过程当成万能步骤,相信会为你节省不少时间呢.
B.最新考题透视
1．（2019•滨海新区模拟）如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为30m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为35°测得底部C处的俯角为43°，求甲、乙两建筑物的高度AB和DC（结果取整数）．（参考数据：tan35°≈0.70，tan43°≈0.93）
【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应用其公共边构造关系式，进而可求出答案．
【解答】如图作AE⊥CD交CD的延长线于E．则四边形ABCE是矩形，
∴AE＝BC＝30，AB＝CE，
在Rt△ACE中，EC＝AE•tan43°≈27.9（m）
在Rt△AED中，DE＝AE•tan35°，
∴CD＝EC﹣DE＝AE•tan43°﹣AE•tan35°＝30×0.93﹣30×0.7≈7（m），
答：甲、乙建筑物的高度AB为28m，DC为7m．
2．（2019•瑶海区一模）如图，山坡AC的坡比为3：4，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求山高AB（结果取整数：参考数据：sin26.6°＝0.45，cos26.6°＝0.89，tan26.6°＝0.50）．
【分析】首先在直角三角形ABC中根据坡角的正切值用AB表示出BC，然后在直角三角形DBA中用BA表示出BD，根据BD与BC之间的关系列出方程求解即可．
【解答】∵在直角三角形ABC中，AB/BC＝tanα＝3/4，∴BC＝4AB/3，
∵在直角三角形ADB中，∴AB/BD＝tan26.6°＝0.50,即BD＝2AB
∵BD﹣BC＝CD＝200,∴2AB﹣4/3AB＝200,解得：AB＝300米，
答：山高为300米．
3．（2019•广东一模）如图，九年级学生在一次社会实践活动中参观了具有深厚文化底蕴的观音山后感概万千，这座观音多高呢？为了测量这座观音像的高度AB，数学兴趣小组在C处用高为1.5米的测角仪CE，测得塔顶A角为42°，再向观音像方向前进12米，又测得观音像的顶端A的仰角为61°，求这座观音像的高度AB．
（参考数据：sin42°≈0.67，tan42°≈0.90，sin61°≈0.87，tn61°≈1.80，结果保留整数）
【分析】根据题意得到BH＝CE＝DF＝1.5m，EF＝CD＝12m，设AH＝x，解直角三角形即可得到即可．
【解答】如图，记EF的延长线交CD于H，根据题意得：BH＝CE＝DF＝1.5m，EF＝CD＝12m，设AH＝x，在Rt△AEH中，∠AEH＝42°，AH═x，
答：这座观音像的高度AB是23m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是证明AB＝BM＝40，属于中考常考题型．
4．（2019•青羊区模拟）如图，某中学计划在主楼的顶部D和大门的上方A之间挂一些彩旗．经测量，得到大门AB的高度大约是3m，大门距主楼的距离是45m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时测倾器离地面大约是m．
求：（1）学校主楼的高度（结果保留根号）；
（2）大门上方A与主楼顶部D的距离（结果保留根号）
【分析】（1）根据题意作出合适的辅助线，然后利用特殊角的三角函数即可求得学校主楼的高度；
（2）根据（1）中的结果和锐角三角函数、勾股定理可以求得大门上方A与主楼顶部D的距离．
【解答】（1）作EF∥BC交DC于点F，
∵BC＝45m，∴EF＝45m，
∵∠DEF＝30°，∠DFE＝90°，∴tan30°＝DF/EF=DE/45，
∴√3/3=DE/45，解得，DE＝15√3，
∵EB＝√3m，∴DC＝15√3 √3＝16√3m，
即学校主楼的高度是16√3m；
（2）作AG∥BC交DC于点G，
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角文题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．（2019•邓州市一模）知识改变世界，科技改变生活．导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．如图，某校组织学生乘车到我市"四馆一中心"开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A地13千米，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C地，求B，C两地的距离．
【分析】作BD⊥AC，设AD＝x，在Rt△ABD中求得BD，在Rt△BCD中求得CD，由AC＝AD CD建立关于x的方程，解之求得x的值，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】如图，作BD⊥AC于点D，则∠BAD＝60°、∠DBC＝53°，
即BC两地的距离为11.4千米．
【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．
6．（2019•新昌县一模）如图，某轮船在点B处，测得小岛A在B的北偏东60°方向，然后向正东方向航行60海里到点C处，测得小岛A在C的北偏东30°方向．
（1）求小岛A到这艘轮船航行在点B时AB的长度．
（2）若轮船继续往正东方向行驶40海里到点D处，求AD的距离（精确到1海里）．（≈2.65）
【分析】（1）如图，直角△ACE和直角△ABE有公共边AE，在两个直角三角形中，利用三角函数即可用AE表示出CE与BE，根据CB＝BE﹣CE即可列方程，从而求得AE的长，然后根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）由（1）求得BE＝90海里，则DE＝10海里，在直角△AED中，利用勾股定理求得AD的长度即可．
【解答】（1）如图所示，过点A作AE⊥BD于点E，
则有∠ABE＝30°，∠ACE＝60°．∴∠CAB＝∠ABE，∴BC＝AC＝60海里．
（2）若轮船继续往正东方向行驶40海里到点D处，AD的距离约是530海里．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用、直角三角形的计算，一般的三角形可以通过作高线转化为解直角三角形的计算，计算时首先计算直角三角形的公共边是常用的思路．
7．（2019•婺城区模拟）如图，利用一幢已知高度的楼房CD（楼高为20m），来测量一幢高楼AB的高在DB上选取观测点E、F，从E测得楼房CD和高楼AB的顶部C、A的仰角分别为
58°、45°．从F测得C，A的仰角分别为22°，70°．求楼AB的高度（精确到1m）（参考数据：tan22°≈0.40，tan58°≈1.60，tan70°≈2.75）
【分析】在△CED中，得出DE，在△CFD中，得出DF，进而得出EF，列出方程即可得出建筑物AB的高度．
【解答】在Rt△CED中，∠CED＝58°，
C.深度反思总结
一般来说，解双直角三角形问题，可把两个直角三角形的相关条件联系在一起构建方程求解．解决该类问题时注意寻找两直角三角形的公共边角或相等的边角，它们往往是沟通解证思路的"桥梁"．解双直角三角形基本模型如下：
利用解直角三角形解决实际问题的步骤是：（1）审题，弄清方位角、仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念，将实际问题抽象为数学问题．（2）认真分析题意，画出平面图形，转化为解直角三角形问题，对于非基本的题型可通过解方程（组）来转化为基本类型，对于较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，或分割成一些直角三角形或矩形．（3）根据条件，结合图形，选用适当的锐角三角函数解直角三角形．（4）按照题目中已知数的精确度进行近似计算，检验得到符合实际要求的解，并按题目要求的精确度确定答案，并标注单位．对非直角三角形的求解，可以通过作辅助线的方法转化成直角三角形解决，这种方法叫"化斜为直"法．通常以特殊角为一锐角，构造直角三角形．若条件中含有线段的比或锐角三角函数值，也可以设未知数，列方程求解．
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