解决最值问题的利器——垂线段最短

求线段最大最小值问题方法(解决最值问题的利器)(1)

在八年级数学平行四边形这一章学习中,最值问题是个难点,在没有学习二次函数之前,围绕着“最”,通常需要两个几何定理,其一是两点之间,线段最短,其二是垂线段最短,还可以利用三角形三边数量关系进行,当然它本质上也是两点之间线段最短。

当然,这道题放在九年级复习,可解决的办法更多,但不推荐使用超前知识来解答,后面反思中会详细提到。那么首先我们来看一道八年级数学动点导致的面积最值问题。

题目

如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长为4,且A点在y轴正半轴上,C点在x轴上,D点是x轴正半轴上一个动点,OD长为2a,以OD为对角线作正方形OEDF,连接BD并取BD中点M,AM交x轴于N点.

(1)N点坐标是_____________(用含a的代数式表示);

(2)求FN:EM的值;

(3)当△EMN面积最小时,求a的值.

求线段最大最小值问题方法(解决最值问题的利器)(2)

解析:

(1)分析点N的形成,它是由AM延长后与x轴相交产生,因此观察点M,发现它是中点,于是很容易找到一对全等三角形,△ABM和△NDM,所以可以证明DN=AB=4,于是ON=2a-4,于是得到点N坐标为(2a-4,0);

(2)在八年级阶段求线段比值,通常突破口不容易找到,但是题目条件中其实给了不少暗示,例如正方形,例如等腰三角形,咦?△EMN,是不是很像等腰三角形呢?

猜归猜,用数学推理说话才是正道,那咱们就上路吧!

以点E为旋转中心,EO=ED,那么EN的对应边又在哪里呢?不难想到连接AE,如下图:

求线段最大最小值问题方法(解决最值问题的利器)(3)

由正方形OEDF得到EO=ED,∠OED=90°,由正方形OABC得到OA=AB,再用前一小题中的△ABM≌△DNM得到AB=DN,于是等量转换顺利得到OA=DN,再加上∠AOE=∠NDE=45°,用SAS判断△AOE≌△NDE,从而证明了AE=NE,∠AEO=∠NED,而∠NED ∠OEN=90°,于是∠AEO=∠OEN=90°,即∠AEN=90°,得到等腰Rt△AEN,前面也提到点M是中点,因此△EMN是等腰三角形,所以FN:EM=√2;

(3)这是本题重点也是难点,△EMN的面积随着点D带动点N变化而变化,但我们可以看到,△EMN本身是个特殊三角形,它的面积与其边长有关联,即面积最值可转化成线段最值问题,于是我们学过的两个定理:两点之间,线段最短和垂线段最短便能派上用场了。

到底该用哪个呢?

观察线段的变化,如果两个端点都在变化,其实是不利于观察的,在△EMN中,恰恰所有顶点都在变化,设置了障碍,但回到最初求N点坐标时的思路,观察线段AN,由于M是中点,所以MN的长度与AN的长度变化是同步的,对于线段AN来讲,端点A是确定的,点N又在x轴上,即线段一端固定,另一端在直线上,这不就是点到直线的距离最短的案例吗?

所以当AN⊥x轴时,AN最短,连带MN最短,得到△EMN面积最小。

求线段最大最小值问题方法(解决最值问题的利器)(4)

结合前面的探究,AB=DN,而DN和DO重合,于是2a=4,求得a=2.

解题反思:

解完之后会感觉,这道题并不难嘛!的确,在想到思路之前,的确很难,想到之后,行云流水。

那么解题的思路究竟如何更有效率地寻找?答案只有一个,那就是审题,说起来简单,但做起来很难。学生平时学习,积累了大量解题经验,这些经验要用于某道具体题目,相当于大数据匹配,读题时,触发思维线,思维线织成网,最终网住结论这条鱼。

在实际教学中,我发现有学生提前学习了后面知识,例如用一次函数求解析式,再构造二次函数求最值,当然也很容易,坐标系内的问题,用解析法再容易不过。

只是解析法解此类题,容易上瘾,再也不会去思考几何直观,甚至再遇到这类几何问题,建系解决问题成为首选,这可不是八年级学习几何的目的!曾经在九年级复习课中,讲一道压轴题,有多种方法,几何法非常巧妙,也简单,但不少学生却执迷于解析法,虽然最终通过复杂的计算也能得到,但费时费力,更糟糕的是,他们在用解析法完成之后,对几何法的讲解不屑一顾,课堂上甚至开起了小差,因此不禁在想,超前学习到底是帮他们还是害他们?

我认为,每个阶段有每个阶段的教学目标,学生不宜超前学习,这次教育部出台规范培训机构的文件,也提到这一点,所以平时的学习,必须按部就班,遵照学生思维成长规律,不可拔苗助长。

雪浪纸

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