（作者：刘岳老师）
据说在广大数学系同学的教材中，证明题被分为了两大类：
（1）这t（题）m（目）也用证？
（2）这t（题）m（目）也能证？
而今天的问题，可能还要特殊一点，你可以说它属于第一类，若是归属于第二类好像也毫无违和感，是的，说的就是我们小学就知道的加法交换律：a b=b a。
当然，它又不是公理，况且，并不是每一种运算都满足交换律，比如减法就不行，a-b和b-a并不是总相等的，a÷b和b÷a往往也是两回事，解释这一点很简单，对于a b而言，其中的a和b都叫做加数，但是对于a-b，一个叫减数，一个叫被减数，当然不能随意交换。
接下来关于这个等式的证明，或许我们会有一些这样那样的想法，比如，通过移项两边加加减减。
当然不可能这么简单了。
做证明题一定要清楚一点，我们有什么？
对这个问题无从下手的一个主要因素就是，这题没给条件啊！其实也不是没给，是默认我们都知道了，比如
（1）什么是a、b（这里代指自然数）；
（2）什么叫加法。
我们确实知道，只不过我们熟悉的并不能解决这个问题。
什么叫自然数？
像0、1、2、3……这样的数叫自然数，这是我们小学就知道的定义，这个定义能帮助孩子们理解、辨别自然数，至于严谨不严谨的，这不在小学考虑的范畴。
但对于我们这个问题，什么叫自然数就很重要了。
对于一些数学基础定义，我们下定义的方式从来都不是“它是什么”，我们不曾讨论过“1是什么？”、“1真实存在吗”等等，我们只会描述“1”可以用来做什么，比如“我在马路边捡到1元钱”、“这次考试我考了班级第1，倒数的”。
明确我们想要它来干什么，再用公理来规范它，即所谓的公理化，至于它本身有没有意义之类的，who care。
我们想要自然数实现什么？
（1）基数功能：表示数量；
（2）序数功能：表示顺序；
（3）运算功能：如果1 2不能得到3的话，那么1 2与a b又有什么区别？
原始人结绳计数
通用的定义自然数的公理是皮亚诺（Peano）公理，以下内容参考《陶哲轩实分析》一书，关于皮亚诺公理作简单介绍。
陶哲轩实分析
首先我们想要的自然数是指一类数，彼此之间也是有关系的，我们需要两个基础概念：数0和增长运算，由0开始增长得到后面的其他的自然数，我们用n 来表示n后面的数，称为数n的“后继”，比如0 =1,（0 ） =2等等。
公理1：0是自然数。
关于0到底是不是自然数，本文就不讨论了。数学是基于公理体系下的符号游戏，只要不引起矛盾或纠纷，这个说法便是ok的。
公理2：若n是自然数，则n 也是自然数。
我们可以理解自然数集是0，0 ，（0 ） ，（（0 ） ） ……这么一串数，只是为了书写方便，我们改为了0，1，2，3，4……
好像对于描述自然数，以上两条就够了，但我们还需更明确一些，关于每个数的后继。
用过这种计算器的应该会知道，如果算出的数结果很大，会显示归零。
同样对于自然数集，我们需要：
公理3：0不是任何自然数的后继，即对于任意自然数n，都有n ≠0。
规避掉归零的情况还不够，我们还需要保证，后面数的后继也不会归1、归2等等，比如4 ≠1，4 ≠2……
公理4：不同的自然数有不同的后继。若m、n是自然数且m≠n，则m ≠n ，等价地说，若m =n ，必有m=n。
对于自然数已经比较规范了，但对于运算来说还差点意思。
公理5：（数学归纳原理）
设P（n）是关于自然的是一个性质，假设P（0）是真的，并假设只要P（n）是真的，则P（n ）也是真的。那么对于每个自然数n，P（n）都是真的。
就好比当我们有了1 1=2，便可得到2 1=3，3 1=4……
对于自然数，我们想要的是具有一般性的结论，而这一点需要数学归纳来完成。
自然数
自然数：存在一个数系N，称其元素为自然数，公理1—5对此数系成立。
皮亚诺
假装解决了第一个问题：什么是自然数。接下来该说说什么是加法了。
在前面我们提过自然数的一个基本运算：增长，表现了自然数之间的关联，在此基础上来建立加法运算。
加法：设m是自然数，定义：0 m=m。假定已经定义好如何使n加上m，那么定义（n ）加上m为（n ） m=（n m） 。
比如当定义1 3=4时，那么2 3=（1 3） =4 =5，3 3=（2 3） =5 =6……
这还不够，m 0=m吗？以及n （m ）=（n m） 吗？这些我们还都不知道呢，我们也希望同样由1 3=4能得到1 4=5。
证明1：对自然数m，m 0=m。
已知0 m=m但并不能由此直接得出m 0=m，我们还并不知道加法交换律这么回事。
公理告诉我们这里我们可以用的方法是数学归纳，
根据0 m=m以及0是自然数，可得：0 0=0
现假定n 0=n，根据加法定义，
那么（n ） 0=（n 0） =n
所以对任意自然数m，均有m 0=m。
证明2：对任意自然数n和m，n （m ）=（n m）
依然数学归纳法
对n进行归纳，当n=0时，
0 （m ）=（0 m）
假定n （m ）=（n m） ，
接下来证（n ） （m ）=（（n ） m） 。
左式=（n （m ）） =（（n m） ）
右式=（（n m） ）
故左式=右式。
准备工作做好了，剩下的任务就简单了。
假装理解了题目给我们暗示的两个条件：
（1）什么叫自然数；
（2）什么是加法。
是时候证明加法交换律了。
加法交换律：对于自然数n和m，n m=m n。
证明：对n进行归纳，
首先考虑当n=0时，0 m=m，m 0=m，故0 m=m 0成立，
假定n m=m n成立，下证：（n ） m=m （n ）
根据加法定义：（n ） m=（n m）
根据证明2：m （n ）=（m n）
根据假定：（m n） =（n m）
故（n ） m=m （n ）
于是对任意自然数n、m，均有n m=m n。
我问佛，了解这玩意有什么意义？
佛说，你已经做了这么多无意义的事，又何必多在意这一件？
我不禁泪流满面
