(作者:刘岳老师)

据说在广大数学系同学的教材中,证明题被分为了两大类


(1)这t(题)m(目)也用证?

(2)这t(题)m(目)也能证?


而今天的问题,可能还要特殊一点,你可以说它属于第一类,若是归属于第二类好像也毫无违和感,是的,说的就是我们小学就知道的加法交换律:a b=b a


推理与证明例题及答案(你知道abb)(1)

一、这tm也用证?

当然,它又不是公理,况且,并不是每一种运算都满足交换律,比如减法就不行,a-b和b-a并不是总相等的,a÷b和b÷a往往也是两回事,解释这一点很简单,对于a b而言,其中的a和b都叫做加数,但是对于a-b,一个叫减数,一个叫被减数,当然不能随意交换


接下来关于这个等式的证明,或许我们会有一些这样那样的想法,比如,通过移项两边加加减减


当然不可能这么简单了。


做证明题一定要清楚一点,我们有什么


对这个问题无从下手的一个主要因素就是,这题没给条件啊!其实也不是没给,是默认我们都知道了,比如

(1)什么是a、b(这里代指自然数);

(2)什么叫加法。


我们确实知道,只不过我们熟悉的并不能解决这个问题。


推理与证明例题及答案(你知道abb)(2)


什么叫自然数?


像0、1、2、3……这样的数叫自然数,这是我们小学就知道的定义,这个定义能帮助孩子们理解、辨别自然数,至于严谨不严谨的,这不在小学考虑的范畴。


但对于我们这个问题,什么叫自然数就很重要了。


对于一些数学基础定义,我们下定义的方式从来都不是“它是什么”,我们不曾讨论过“1是什么?”“1真实存在吗”等等,我们只会描述“1”可以用来做什么,比如“我在马路边捡到1元钱”、“这次考试我考了班级第1,倒数的”。


明确我们想要它来干什么,再用公理来规范它,即所谓的公理化,至于它本身有没有意义之类的,who care。


我们想要自然数实现什么

(1)基数功能:表示数量;

(2)序数功能:表示顺序;

(3)运算功能:如果1 2不能得到3的话,那么1 2与a b又有什么区别?


推理与证明例题及答案(你知道abb)(3)

原始人结绳计数


二、什么是自然数?

通用的定义自然数的公理是皮亚诺(Peano)公理,以下内容参考《陶哲轩实分析》一书,关于皮亚诺公理作简单介绍。

推理与证明例题及答案(你知道abb)(4)

陶哲轩实分析

首先我们想要的自然数是指一类数,彼此之间也是有关系的,我们需要两个基础概念:数0和增长运算,由0开始增长得到后面的其他的自然数,我们用n 来表示n后面的数,称为数n的“后继”,比如0 =1,(0 ) =2等等。

公理1:0是自然数。

关于0到底是不是自然数,本文就不讨论了。数学是基于公理体系下的符号游戏,只要不引起矛盾或纠纷,这个说法便是ok的。

公理2:若n是自然数,则n 也是自然数。

我们可以理解自然数集是0,0 ,(0 ) ,((0 ) ) ……这么一串数,只是为了书写方便,我们改为了0,1,2,3,4……

好像对于描述自然数,以上两条就够了,但我们还需更明确一些,关于每个数后继

用过这种计算器的应该会知道,如果算出的数结果很大,会显示归零。


推理与证明例题及答案(你知道abb)(5)

同样对于自然数集,我们需要:

公理3:0不是任何自然数的后继,即对于任意自然数n,都有n ≠0。

规避掉归零的情况还不够,我们还需要保证,后面数的后继不会归1、归2等等,比如4 ≠1,4 ≠2……

公理4:不同的自然数有不同的后继。若m、n是自然数且m≠n,则m ≠n ,等价地说,若m =n ,必有m=n。

对于自然数已经比较规范了,但对于运算来说还差点意思。

公理5:(数学归纳原理)

设P(n)是关于自然的是一个性质,假设P(0)是真的,并假设只要P(n)是真的,则P(n )也是真的。那么对于每个自然数n,P(n)都是真的。

就好比当我们有了1 1=2,便可得到2 1=3,3 1=4……

对于自然数,我们想要的是具有一般性的结论,而这一点需要数学归纳来完成。

自然数

自然数:存在一个数系N,称其元素为自然数,公理1—5对此数系成立。


推理与证明例题及答案(你知道abb)(6)

皮亚诺


三、加法是什么?

假装解决了第一个问题:什么是自然数。接下来该说说什么是加法了。


在前面我们提过自然数的一个基本运算:增长,表现了自然数之间的关联,在此基础上来建立加法运算。


加法:设m是自然数,定义:0 m=m。假定已经定义好如何使n加上m,那么定义(n )加上m为(n ) m=(n m) 。


比如当定义1 3=4时,那么2 3=(1 3) =4 =5,3 3=(2 3) =5 =6……


这还不够m 0=m吗?以及n (m )=(n m) 吗?这些我们还都不知道呢,我们也希望同样由1 3=4能得到1 4=5


证明1:对自然数m,m 0=m。

已知0 m=m但并不能由此直接得出m 0=m,我们还并不知道加法交换律这么回事。

公理告诉我们这里我们可以用的方法是数学归纳,

根据0 m=m以及0是自然数,可得:0 0=0

现假定n 0=n,根据加法定义,

那么(n ) 0=(n 0) =n

所以对任意自然数m,均有m 0=m。


证明2:对任意自然数n和m,n (m )=(n m)

依然数学归纳法

对n进行归纳,当n=0时,

0 (m )=(0 m)

假定n (m )=(n m) ,

接下来证(n ) (m )=((n ) m) 。

左式=(n (m )) =((n m) )

右式=((n m) )

故左式=右式。

准备工作做好了,剩下的任务就简单了。


四、这t(题)m(目)也能证?

假装理解了题目给我们暗示的两个条件:

(1)什么叫自然数;

(2)什么是加法。


是时候证明加法交换律了。


加法交换律:对于自然数n和m,n m=m n。

证明:对n进行归纳,

首先考虑当n=0时,0 m=m,m 0=m,故0 m=m 0成立,

假定n m=m n成立,下证:(n ) m=m (n )

根据加法定义:(n ) m=(n m)

根据证明2:m (n )=(m n)

根据假定:(m n) =(n m)

故(n ) m=m (n )

于是对任意自然数n、m,均有n m=m n。


我问佛,了解这玩意有什么意义?


佛说,你已经做了这么多无意义的事,又何必多在意这一件?


我不禁泪流满面


推理与证明例题及答案(你知道abb)(7)

,