本期介绍一篇系留气球文献中的高被引论文，即James D. DeLaurier发表在《Journal of Aircraft》上的“A Stability Analysis for Tethered Aerodynamically Shaped Balloons”。
系留气球系统本质是个绳索问题，只是顶端的气球动力学行为给予其边界条件和辅助方程，形成一系列带有非齐次边界条件的一阶偏微分波动方程。然后做小扰动线性化实现横向与纵向的解耦，得到各自方向的超越特征方程并求解特征根。将该稳定性分析方法运用到高性能系留气球设计中，得出大而具有良好气动效应的尾翼能够实现较好稳定性的结论。
1915年，Bairstow就推导出系留气球稳定性的方程，但超出了当时手工计算可接受的范围，使得系留气球设计一度依靠经验或试错。后来随着系留气球在作为定点实验平台上的需求以及计算机技术的发展，研究人员有信心面对稳定性理论的精确处理。
系留气球在数学和物理上只是“广义绳索-体系统”的部分运用。关于牵引和系留体的稳定性，已有相当多的理论和实验工作可以参考。大多数方法将“绳索-体系统”处理为简单的多刚体连接动力学问题，缆绳被等效为作用在缆绳与刚体连接位置处的一个受力边界条件。连接点受力条件表示为绳索稳定性导数的形式并假设绳索在满足边界条件下处于瞬时平衡状态。这种绳索稳定性导数的方法能够给出线性常微分方程来描述系统一阶行为。下图为Maryniak在研究拖曳滑翔机在受到扰动后的稳定性时将连接缆绳视为刚体，并考虑了法向和切向气动力。
但是这种多刚体模型没有考虑“缆绳-体系统”的基本力学性能，特别是对于位移沿缆绳传播时间与系统最大振荡周期相同量级时（比如再入减速伞或者高空气球）并不适用。更合适的方法是将“边界-体系统”视为缆绳问题，运动体只提供边界条件。本文即采用这种耦合分析方法。
稳定性分析理论
1. 系留气球稳定性种类
作为本文的预备知识，极限环振荡是诸如“缆绳-体系统”这种在其运动分量上有力学约束的系统的主要振荡特征。这种系统也许有一阶不稳定性，但同时也有极限环稳定性。这与飞机这种一阶不稳定的自由非系统不同，如果没有得到纠正，总是会使得系统由初始稳定运动变得不稳定。然后，即使对于自由飞系统，如果具有一阶稳定性，即使受到非一阶干扰，系统也总是稳定的。因此，对于“缆绳-体系统”的一阶稳定性分析是保守的，并且对于设计稳定性系统具有较大参考价值。
2. 系留气球运动方程
首先对缆绳规定以下假设：
（1）缆绳沿长度方向的线密度不变；
（2）缆绳不抗压其不可伸长；
（3）缆绳截面为圆形，或近似圆形，比如绞合线；
（4）所在环境流场均匀分布；
（5）缆绳段处于亚临界雷诺数环境；
（6）缆绳段为直线段；
（7）缆绳段扰动位移相比整体长度是个小量；
（8）缆绳段扰动速度相比来流速度也是小量；
（9）缆绳内部的张力沿长度均匀线性变化，忽略扰动引起的张力变化。
则根据以上假设，缆绳段的运动微分方程为：
其中，C，k1~k7是与缆绳段物理，气动和几何特性有关的无量纲常数。ξ，y和ζ为缆绳坐标系上的无量纲扰动值（图1）。s是无量纲缆绳长度坐标。D和D2是无量纲时间一阶和二阶导数。
图1 系缆坐标系统
为表示缆绳形状弯曲和张力变化，将缆绳划分为一系列一阶单元，各个离散单元通过位移和弯曲斜率相等条件连接。每个离散段满足以上(1)~(9)个假设。则以i号离散段为例，与i 1段之间的等式约束条件为：
其中i=1,2,...,n-1。Li为各离散段的长度。t为无量纲时间。
另外，缆绳初始边界条件为：
缆绳末端边界条件由气球运动方程给出。这些方程的建立有以下假设：
（1）气球视为刚形体；
（2）气球沉浸在均匀流场中；
（3）气球相对n1和n3组成的平面（中面，图2）对称；
（4）缆绳在连接点处可以自由旋转；
（5）气球受到扰动后的旋转角度较小；
（6）气球受到扰动后的角速度相比来流速度与物体特征长度的比值要小许多；
（7）气球扰动速度相比来流速度是个小量；
（8）气动效应使用稳定性导数表示。
图2 系留气球运动坐标系
则气球运动方程表示为：
其中B是无量纲浮力，mg是无量纲重力，Cx,Cy,Cz是气动力系数，Cl,Cm,Cn是气动力矩系数，ixx,iyy,izz,ixz是无量纲惯性张量，R是体心到重心的无量纲距离。Ra是体心到缆绳连接点的无量纲距离。s是缆绳长度坐标。T0是连接点的无量纲缆绳张力。
对以上气球动力学方程进行整理，以得到更为方便的形式：
其中π23~π60是由气球动力学方程中的系数组成的常数。以上又气球动力学组成的边界条件（10~14），之前缆绳体运动学方程（1~3），缆绳内部等式约束（4~7）和初始条件（8~9）共同组成系留气球系统运动的完全定解边值问题。注意到y，ψ和φ是横侧向参数，构成完整定解方程。ζ和θ是纵向参数，也是构成完整定解方程。
稳定性方程求解
纵向边界值问题由方程缆绳方程(3)，边界条件(4,6,8,10)以及辅助方程(12)组成。该问题是一系列具有非齐次终端条件的齐次偏微分波动方程，这比飞机稳定性分析的齐次常微分方程组要复杂得多。参考Berg和McGregor针对非齐次偏微分方程提出的分离变量法技术，并且以上所有方程都是线性且系数为常数，则可以假设一个扰动谐波运动，即：
将该间歇运动带入缆绳方程(3)，并且满足边界条件方程(4,6,8)，可以得到：
其中(Zi)1是个常数。Q1=1。
同样，对θ也假设为谐波方程：
其中系数为常数。将方程(19)和(15~18)一起带入边界方程(10)和辅助方程(12)中，对于缆绳最后一段i=n，可以得到以下超越方程：
方程(20)和(21)是两个齐次线性方程，可整理为关于σ的行列式值等于0的特征方程。
横侧向处理和以上纵向处理一样。横侧向由关于缆绳方程(2)，边界条件方程(5,7,9,11)以及辅助方程(13，14)组成。假设y有谐波运动解：
将其带入缆绳方程(2)中，并且在满足边界条件方程(5,7,9)下得到：
其中(Yi)1是个常数，P1=1。
进一步，对ψ和φ也假设有谐波解：
前面的系数都为常数。将(23~26)带入关于最后一段i=n的边界方程和辅助方程中，得到齐次线性方程。同纵向处理一样，得到关于λ的行列式等于0的特征方程。
对于σ和λ的特征根，通常为复数形式：
由于这些特征方程是超越方程，比较复杂，不好找到一般的解析封闭解。本文使用根轨迹法来求解。将方程(27)代入特征方程中，并整理出实数和虚数部分，则特征方程变为如下形式：
整理完成后，就可以使用根轨迹方法了。首先，通过一系列值对根对进行排序，对于每个值，计算特征方程的实部和虚部。接着，求解方程的实部或虚部等于零的每个根对，并将该根对标记在坐标系上。这些点定义特征方程的实部或虚部等于零的曲线。这些曲线的交点定义特征根。图3和图4是纵向和横侧向根轨迹图。
图3 用于寻找纵向特征根的根轨迹图
图4 用于寻找横侧向特征根的根轨迹图
稳定性理论的应用
图5为系留气球系统，特征长度b是球身长度，特征面积是球身体积的2/3次方。本文仿真实例中：
进一步，通过有限元计算来获得气球惯性质量参数。由于周围空气和氦气密度在不同飞形高度变化使得气球重心位置在不同缆绳长度和风速下发生改变，进而影响惯性质量分布。比如，当缆绳长度L=4000ft(1.22km)，风速为U=20fps(6.1m/s)，气球总质量m=386.5slugs(5.64吨)，关于x轴的惯性矩为Ixx=89060slug-ft2(120750kg.m2)，关于y轴的惯性矩为Iyy=478010slug-ft2(648094kg.m2)，关于z轴的惯性矩为Izz=422550slug-ft2(572900kg.m2)，关于x-z轴的惯性积Ixz=56810slug-ft2(77024kg.m2)。重心位置在：
图5 系留气球系统
牵引缆绳使用NOLARO绳索（由哥伦比亚绳索公司制造），半径R=0.0323ft，线密度ρ=0.00621slug/ft。气动系数参考Hoerner的论文：
接着，对系留气球球体进行风洞实验，得到系留气球各迎角下的升力，阻力和俯仰力矩，如图6所示。通过迭代计算策略来得到当前系留气球系统构型。首先建立气球迎角与飞行高度和来流速度的函数关系，并通过有限差分方法求解缆绳几何与受力分布的平衡方程。通过气球和缆绳平衡方程的耦合来求解整个系留气球系统在当前缆绳长度和风速下的静平衡构型。以缆绳长度L=4000ft为例，计算结果如图7。
图6 系留气球气动特性曲线
图7 系留气球系统平衡构型
气球的重心位置和迎角是风速和缆绳长度的函数，稳定性导数也应为函数。纵向稳定性导数在缆绳长度L=4000ft和风速U=20fps时：
其中下标0表示在风轴系下建立的气动导数。同样在横向有稳定性导数：
以上图5至图7中的几何，惯性和气动数据和式(30~34)中的数据是稳定性分析的必要输入。稳定性分析结果如图8至图11所示。
根据理论分析，存在一个主导的最不稳定的模态，其频率与“单摆模型”频率数量级相同，关系为：
因此，图8至图11仅表示这个主导模态。从图8和图9得出，振荡频率随着风速U和缆绳长度L的增大而增大，仅在纵向较大风速时出现下降。这种情况下，理论预测运动趋近于临界阻尼状态，即振荡完全消失。即纵向振荡频率图不像横向那样在20ft/s(6.1m/s)到160ft/s(49m/s)中完全存在。比如L=8000ft时，只在20ft/s(6.1m/s)至120ft/s(37m/s)之间出现振荡。
图8 系留气球系统纵向振荡频率
图9 系留气球系统横向振荡频率
根据图10中的纵向稳定性区域图，大部分区域是稳定的，只在0<U<20fps狭窄范围内出现不稳定。这是因为气球升力和阻力出现耦合，升力起着强迫力作用，阻力则提供了阻尼。因此，高升阻比会加剧这种不稳定现象，就像飞机的“长周期振荡起伏”现象。不管怎样，系留气球仍然追求高的升阻比以提供整体性能。但经验表明系留气球只会出现极限环振荡。因此，这个小的不稳定区域，出于操作目的，是可以接受的。
图11中的横向稳定性分布表明整个风速和缆绳长度区域都是稳定的，这是由垂尾带来的。横向稳定性主要由正的偏航力矩导数Cnv和负的侧滑角与滚转偏航导数CYv和Cnr决定。较大面积的垂尾进一步增大了这些导数。
图10 纵向稳定性区域
图11 横向稳定性区域
总结
本文在小扰动假设下，对系留气球一阶运动开展了稳定性分析。本文对缆绳建立的是广义运动方程，并不需要引入缆绳的瞬时平衡假设。因此，对于位移沿缆绳传播时间与系统最大振荡周期相近的系统（比如拖曳式再入减速器或者高空气球系统）也是管用的。
本文将“缆绳-体系统”视为分段缆绳问题，体运动提供最后一段缆绳的边界和辅助条件。这对于其它一些有趣的场景也可以直接运用。
（1）比如二体通过缆绳相连的运动问题，只需将本文建立模型的初始条件替换为一段运动体的边界和辅助方程。
（2）或是是缆绳中间还布置有运动体。则左右两端缆绳的边界条件和辅助方程由中间运动体决定。
Aeronautical Astronautical Scientifc Balloon=Aerastroon
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