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第161期 信号覆盖问题
解答 | 君君数学
答案为至少需要4个圆覆盖。
假设3个半径500的圆可以覆盖1000×1000的正方形，则A、B、C、D四点至少有2点被同一圆覆盖，设为A、B（对角形长度大于1000，故不可能被同一圆覆盖）。则AB是直径，圆心为AB中点。其它3边被剩余2个圆所覆盖，P、Q为AD内任意2点，因为P、Q、C三点被2圆覆盖，至少有2点被同一圆覆盖，又PC，QC都大于1000，所以只能是PQ被同一圆覆盖，进而推出AD被同一圆覆盖。同理BC被另一个圆覆盖，而AD=BC=1000，所以3圆位置只能如上图，CD无法被覆盖，得出矛盾。根据上述推理，可以得出完全覆盖需要4个圆。
（本答案摘自君君数学，ID：oair2046）
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题友解答精选◎题友 @小猫非猫的解答：
4个。显然4个基站是可以的，每个基站置于广场的一边中央即可，因此关键在于证明3个基站无法全面覆盖。采用反证法，假设某种方式可做到3基站全面覆盖，则正方形中每一点均处于3个圆形的并集中。根据抽屉原则，正方形4顶点中，至少有2个顶点同处于1个圆中；另一方面由简单的几何原理易证，不可能出现3顶点同时处于1圆中的情形，因此必有一圆包含2顶点，显然可知该圆直径与正方形边重合，2顶点（设为A、B）在圆周上。接下来，显然对任意小的§，均存在点N位于正方形的边上，使得N与A点距离AN小于§，而N不属于圆形，因此易证其余2圆必须包含A点（证明略）；B点同理。即表示，其余2圆必须包含4顶点，因此每个圆均包含两顶点，可知其均位于直径与正方形边重合的位置，即3个基站均分别位于正方形的不同边的中点。作图后显然可知这种情况下无法全面覆盖，因此3基站不成立。
◎题友 @老田的解答：
陈总的反证法甚妙，以下补充两个拙证：（1）若要将正方形完全覆盖，至少要将其四条边（或四个顶点）覆盖。题设中圆直径与正方形边相等，则当且仅当直径和边重合时能覆盖整条边，故要想覆盖4条边，至少需要4个圆；若此圆未完全覆盖边长，则其最多只能包含一个正方形顶点，所以要想包含4个顶点，至少需要4个圆。 （2）若用三个等圆覆盖，则圆直径大于正方形边长，从而可证原题中圆形不能用三个覆盖。 显然要三个能盖住正方形的圆最小，须使其3个外围交点位于正方形的边或顶点上，否则圆的直径仍可缩小。原题等价于在边长为1000的正方形边（顶点）上找一个正三角形，其边长大于正方形边长，结论是显然的，因为直角三角形斜边大于直角边。当然也可以求出正三角形与正方形边长比=(1-tan15°)*√(2)=（√6）-(√2)>1
◎题友 @彼岸炫的解答：
四个基站，三个基站满足不了题意，总有一个点在外面，半径500，最多包含两个正方形顶点，如果包含一个正方形顶点则需要四个基站。答案，至少需要四个基站，四个基站的布局方式有很多种，其中一种为正方形四边中点为圆心画圆，每个圆过两个点。还有一种是圆心在正方形对角线上，然后画圆，过一个顶点，需要四个圆，四个基站。
◎题友 @Lin-匯丰的解答：
4个。由于无线基站覆盖直径与广场边长相等，所以每个基站至多覆盖广场的两条边，且都覆盖不全；若完整覆盖一条边，则该基站不覆盖到其他边。由以上两点推论易知使用3个基站不可能覆盖完四条边，即至少需要4个基站，此时方案有很多种，例如建在四条边的中点即可。
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灵机一动
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NO. 162
奇葩月饼
一个奇葩月饼由半圆和直角三角形组成，怎样用直尺（直尺无刻度）和圆规画一条直线将其分为等面积的两部分？
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