对于几何问题，欧几里得有非常重要和有力的解题工具，那就是相似三角形和全等三角形。全等三角形是特殊的相似三角形，就是说两个相似三角形的相似比如果是1：1，那么，它们是全等三角形。
今天的主题是全等三角形。我们首先看一道题（欧几里得的风车），它的证明很难，也是几百年前的欧洲大学生要学习的内容，也让当时的差生抓狂。
我们学习全等三角形的几个知识点以后，进入中学数学讲座：全等三角形的自述。学习后，我们来攻克欧几里得的风车这道难题，见识全等三角形的威力。
《天才引导的历程》截图
题目：欧几里得的风车
如图，利用欧几里得作的5条辅助线，证明对于直角三角形，勾股定理成立。
全等三角形的相关知识点图形的全等（congruence of figures）
图形间的一种等价关系，给定平面上或空间中的两个几何图形，如果经过合同变换（即正交变换），一个图形能与另一个图形重合，即一个图形能变成另一个图形，则说这两个图形全等或合同（也可说成图形相等）,并把这两个图形称为全等（图）形或合同（图）形.例如，平面上有线段、角、三角形、圆等的全等，空间中有多面角、多面体、球等的全等.两个图形F₁ 和F₂全等，记为F₁≌F₂或F₁≡F₂，图形的全等是等价关系，即具有：
1．反身性：对于任何图形F，有 F≌F.
2．对称性：对于图形F₁ 和F₂，若 F₁≌F₂，则F₂≌F₁.
3．传递性：对于图形F₁, F₂, F₃，若 F₁≌F₂ , F₂≌ F₃，则F₁≌F₃.
两个全等形重合时其重合的几何元素称为对应元素，如对应点、对应边、对应角等.两个全等形，若经过的变换只包括平移和旋转，即经过刚体运动（即第一种正交变换）而重合，则称为正向全等形或同向全等形；若经过的变换必须包括一个（且只有一个）反射（即不是刚体运动）才能重合，则称为逆向全等形或反向全等形.特别是只经过一次反射而重合的反向全等形，在空间中是经过镜面反射，因此在立体几何中把这种反向全等形称为镜像全等形或镜照全等形.
三角形的全等（ congruence of triangles ）三角形间的等价关系.两个三角形的全等是指图形的全等，即它们经过合同变换能完全重合.这两个三角形也称全等三角形.△ABC 和 △A'B'C'全等，记为△ABC≌△A'B'C'A ，读作△ABC 全等于△A'B'C'.（参见“图形的全等”).
全等三角形的判定（ decision of congruent triangles )
判定三角形全等的几个充分条件，满足下列五个条件之一的两个三角形为全等三角形：
1．两边和夹角对应相等.（SAS）
2．两角和夹边对应相等.（ASA）
3．三边对应相等.（SSS）
4．两个角和其中一角的对边对应相等.（ASA，AAS）
5．两边及其中大边所对角对应相等.
全等三角形的性质（ property of congruent triangles )对三角形全等的几种刻画，也是三角形全等的几个必要条件.两个全等三角形具有下列性质：
1．对应边相等.
2．对应角相等.
3．对应中线、高、角平分线、外接圆半径、内切圆半径相等.
4．对应线段组成的角相等.
5．周长和面积相等.
直角三角形全等的判定（ congruent decision of a right triangle ）
判定直角三角形全等的几个充分条件.满足下列条件之一的两直角三角形全等：
1．两条直角边对应相等.
2．一条直角边及一个锐角对应相等.
3．斜边及一锐角对应相等.
4．斜边及一条直角边对应相等.
以上内容来自《数学辞海》第一卷。
温馨提示全等三角形的判定没有边边角，也没有角角角。边边角无法确定三角形全等,根源于圆与直线可以有两个交点,或者说是作图原理决定了边边角不能证明三角形全等.
角角角可以判定两个三角形相似，但无法断言它们的相似比是1：1。
“全等三角形”的自述文by刘丽芳
大家好，我是一个三角形。但我不是一个孤独的三角形，我有许多兄弟，不管在哪一定有我的同胞，也就是总会有三角形和我一模一样。人们管我们叫全等三角形。
人们把形状相同、大小相同、能够完全重合的三角形叫作全等三角形。进入八年级后，大家就要研究我们了。无论我的同胞在哪，以什么姿态出现，我们的形状和大小都是相同的，在经过平移、翻折、旋转（图形的三大变换）后，我们可以完全重合。
如果把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角。
我们的“对应边”“对应角”分别相等，“对应边上的中线、角平分线、高线”也分别相等。事实上，我们的周长、面积也分别相等。
我和我的同胞有特殊的语言。我是△ABC ，若 △DEF 与我全等，我们可以表示为△ ABC≌△DEF （如图1)。一旦我们使用了语言“≌”，就说明我们的对应关系确定了：一是顶点对应，点 A 与点 D 、点B与点 E 、点 C 与点 F 对应；二是边与边对应， AB 与 DE 、 BC 与 EF 、 AC 与 DF 对应。但如果我们表示成“△ABC 与△DEF 全等”，那么我们的对应关系就是不确定的。
图1
运用全等三角形的定义可以判定我们全等，但这样有时较麻烦。人们发现了一些简单方法，如两边及其夹角对应相等，两角及其夹边对应相等，两角及其中一角的对边对应相等，三边分别对应相等，都能判定我和兄弟们全等，它们依次简称为“ SAS "“ ASA "“ AAS "“ SSS ”。此外，对于特殊的三角形还可以特别对待。如对于两个直角三角形，若一条直角边和斜边对应相等，就可以直接判定他们全等，简称为“ HL ”。
别看我们的判定方法多，其实还是有一定规律的。通过三角形位置变换：平移、翻折、旋转，能很方便就找到两个三角形对应相等的元素。
平移：将其中一个三角形沿某一直线平移一定距离，与另一个三角形相互重合，从而发现对应相等的边和角。如图2、图3, △DEF 是由△ABC 向右平移而得，从而有 DE = AB 、 EF = BC 、 DF = AC 。
图2 图3
翻折：将其中一个三角形沿某一条直线翻折，与另一个三角形相互重合，从而发现对应相等的边和角。如图4,△DBC 是由△ABC 沿 BC 翻折而得，从而有 BD = AB 、 DC = AC ；同样，图5一图8中的△DFE 都是由△ ABC 沿某条直线翻折得到的。
图4 图5 图6 图7 图8
旋转：将其中一个三角形绕某一点，向某一方向旋转一定角度后，与另一个三角形相互重合，从而发现对应相等的边和角。如图9、图10, △AEF是由△ABC绕点A逆时针旋转一定角度而得。同学们可以试着找出对应边和对应角。
图9 图10
判定我们全等的路线图如下：
1.已知两边
1.1找夹角（ SAS )
1.2找直角（ HL )
1.3找第三边（ SSS )
2.已知一边一角
2.1边为角的对边，找任意角（ AAS )
2.2边为角的邻边
2.2.1找已知角的另一边（ SAS )
2.2.2找已知边的对角（ AAS )
2.2.3找夹已知边的另一角（ ASA )
3.已知两角
3.1找两角的夹边（ ASA
3.2找任意一边( AAS )
图11
此外，用我们的判定方法和性质，可以证明两个角相等或两条线段相等。如果要证明两个角或两条线段的数量或大小关系，同学们可要想到我们哦！
（作者单位：江苏省泰州市第二中学附属初级中学）
全等三角形的威力应用全等三角形解题的例子不胜枚举，下面我们来攻克欧几里得的风车这道难题，验证全等三角形的巨大威力。
欧几里得的风车
上图是欧几里得证明勾股定理的名场面。为解决本题，欧几里得作了5条辅助线，为了清晰易懂，下面的解答图只有三条辅助线。省略的部分可用“同理可证”代替。
解答图
注意，因为上图粗线三角形是直角三角形，所以点A、C、G三点共线，点A、B、H也是三点共线。
综观欧几里得的精彩论证，源自全等三角形的证明，之后证明了射影定理，于是勾股定理的证明就水到渠成。
全等三角形
注意观察，三角形BCF绕顶点B顺时针旋转90°后，与三角形BDA重合，易证它们是全等三角形。
因为等底等高的两个三角形面积相等，所以，同底三角形的第三个顶点在与底边平行的直线上滑动，得到的所有三角形都面积相等。
根据这个道理，又因为矩形的对边是平行的，所以，△FBG和△FBC面积相等。同理可证，△BDA和△BDM面积相等。
因为△BDM面积为以BL为对角线的矩形面积的½，
因为△FBG面积为正方形的½，所以矩形BL的面积等于正方形FA。
于是证明了射影定理：AB²=BM·BC，因为ML把大正方形分为两个矩形，根据射影定理，这两个矩形面积分别等于对应的正方形面积，从而证明了勾股定理。
欧几里得的这个经典证明非常精彩，也充分发挥了全等三角形的威力。希望同学们认真学习并掌握全等三角形的知识，并能够熟练应用。
科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。
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