一条河的同一侧有两个村庄,如何在河边修建供水站,使得它到两个村庄的距离和最短?一条马路的两边有两个小区,如何在马路上修建人行天桥,使两个小区间的路程之和最短?先做好这些准备工作,然后进入我们今天的研究习题。
已知平面直角坐标系中两定点A(-1,0),B(4,0),抛物线y=ax² bx-2(a≠0)过点A、B,顶点为C,点P(m,n)(n<0)为抛物线上一点.
(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;
(2)当∠APB为钝角时,求m的取值范围;
(3)若m>1.5,当∠APB为直角时,将抛物线向左或向右平移t个单位(0<t<2.5),点C、P平移后的对应的点为点C'、P',是否存在t,使得首尾依次连接A、B、P'、C'所构成的多边形周长最短?若存在,求出t的值并说明抛物线平移的方向,若不存在,请说明理由.
(1)将已知的两个点坐标代入函数解析式,求得a=0.5,b=-1.5,故函数解析式为y=0.5x²-1.5x-2,其顶点C坐标为(3/2,-25/8)
(2)根据所求得的解析式作出抛物线图象,如图所示:
以AB为直径作圆D,通过计算发现,抛物线与y轴交点F恰好在圆上,也说明它的对称点E点也在圆上,当点P与E、F重合时,则∠APB=90°,而当点P位于A、F之间或B、E之间时,∠APB为圆内角,大于弦AB所对的圆周角,所以它为钝角,因此我们只需要求出点E、F的坐标即可,E(0,-2),F(3,-2),所以-1<m<0或3<m<4
(3)此问的前提条件是m>3/2,即P点在上图中的E点位置,设平移后的点分别为P'(3 t,-2),C'(3/2 t,-25/8),如图所示,寻找多边形(注意这个词,没有提四边形)周长最短时,由于AB与PC长度一定,所以平移后只需要当AC' BP'长度最短即可,下面我们一起来寻找:
本题的思考:最短距离和的问题,一般来讲需要将两条线段转换到同一条直线上,利用“两点之间线段最短”来解决问题,转换的方法有平移、轴对称等,这道题中,被转换的线段都有一个共同点,一端是定点,一端是动点,只有这样的线段才符合转换的条件。
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