整除
例1:
一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，适合这些条件的最小数是______。
讲析：所求这个数分别除以3和7时，余数相同。
3和7的最小公倍数为21。所以这个数是23。经检验，23除以5商4余3，23是本题的答案。
例2：
一个整数在3600到3700之间，它被3除余2，被5除余1，被7除余3。这个整数是__。
讲析：所求整数分别除以3、5、7以后，余数各不相同。但仔细观察可发现，当把这个数加上4以后，它就能同时被3、5、7整除了。
因为3、5和7的最小公倍数是105。
3600÷105=34余30，105-30=75，
所以，当3600加上75时，就能被3、5和7整除了。即所求这个整数是3675。
例3：
在一个两位数中间插入一个数字，就变成了一个三位数。如52中间插入4后变成542。有些两位数中间插入某个数字后变成的三位数，是原两位数的9倍。这样的两位数共有__个。
讲析：因为插入一个数字后，所得的三位数是原两位数的9倍，且个位数字相同。则原两位数的个位数字一定是0或5。
又插入的一个数字，必须小于个位数字，否则新三位数就不是原两位数的9倍了。因此原二位数的个位不能为0，而一定是5。
结合被9整除的数字特征，不难找到符合要求的两位数有45、35、25和15共4个。
例4：
a是一个自然数，已知a与a 1的各位数字之和都能被7整除，那么这样的自然数a最小是__。
讲析：a与a 1的各位数字之和都是7的倍数。则a的个位数字一定是9。因为如果个位上不是9时，若a的各位数字之和是7的倍数，则a 1的各位数字之和除以7以后，肯定余1。
只有当a的个位上是9时，a 1之后，个位上满十后向前一位进一，a 1的个位数字和才有可能是7的倍数。
联想到69，69 1=70，经适当调整可得，符合条件的最小数a是69999。
例5：
一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的一个商是a[见图5.43（1）]，又知这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到一个商是2a[见图5.43（2）]，求这个自然数。
讲析：可从最后的商步步向前推算。
由图5.43（1）可得：第二次商是（8a 7）；第一次商是8×（8a 7） 1=64a 57；所求的自然数是8×（64a 57） 1=512a 457
由图5.43（2）得，所求的自然数是578a 259
所以，512a 457=578a 259。
解得a=3。
故，这个自然数是512×3 457=1993。
例6：
某住宅区有十二家住户。他们的门牌号分别是1、2、3、……、12。他们的电话号码依次是十二个连续的六位自然数，并且每户的电话号码都能被这户的门牌号整除。已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除。问这一家的电话号码是什么数？
讲析：设这十二家住户的电话号码依次是a 1、a 2、a 3、……，a 12。
因为每户的电话号码都能被自己家的门牌号整除，所以数a能同时被1、2、3、……、12整除。
而1、2、3、……、12的最小公倍数是27720，所以六位数中，能同时被1、2、3、……12整除的最小自然数是27720×4=110880
现在考虑第九户人家的电话号码能被13整除问题。
因为110880÷13，余数是12；27720÷13，余数是4。
也就是在110889的基础上，再加上n个27720之后的和，能被13整除的数，就是所求的数。
即12 4n，是13的倍数。
显然，当n=10时，12 4n是13的倍数。
所以，门牌号码是9的这家电话号码是：
110889 27720×10=388089。
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