测量平面直角坐标计算的基本法则有3个,即坐标正算、坐标反算、坐标方位角的连续推算。我国的测量工作者在平面直角坐标计算图中习惯将已知点(坐标已知的点)用三角形表示、未知点(坐标未知地点)用小圆圈表示。
坐标正算
图5-5-1 坐标正算 图5-5-2 坐标反算
见图5-5-1。A点坐标XA、YA已知,A、B的方位角(坐标方位角,αAB)和水平距离(DAB)也已知,求B点坐标XB、YB。这个过程称为坐标正算。计算过程如下:
首先,根据αAB和DAB计算A、B的坐标增量ΔXAB、ΔYAB 。计算公式为ΔXAB =DAB×cosαAB;ΔYAB = DAB×sinαAB。
然后,根据A、B的坐标增量ΔXAB、ΔYAB ,以及A点坐标XA、YA ,计算B的坐标XB、YB。计算公式为XB =XA+ΔXAB;YB =YA+ΔYAB 。
坐标反算
见图5-5-2。A、B两点的坐标XA、YA、XB、YB已知,求A、B的方位角(坐标方位角,αAB)和水平距离(DAB)。这个过程称为坐标反算。计算过程如下:
(1)根据A、B两点的坐标XA、YA、XB、YB 计算A、B的坐标增量ΔXAB、ΔYAB 。计算公式为ΔXAB =XB-XA;ΔYAB =YB-YA 。
(2)根据A、B的坐标增量ΔXAB、ΔYAB ,计算A、B的水平距离DAB 。计算公式为:
DAB =(ΔXAB2 +ΔYAB2 )1/2 (5-2-1)
(3)根据A、B的坐标增量ΔXAB、ΔYAB ,计算A、B的象限角值(坐标象限角的绝对值)│RAB│。由图5-5-1不难看出,其计算公式为:
│RAB│=tan-1│ΔYAB /ΔXAB│ (5-2-2)
(4)根据A、B坐标增量ΔXAB、ΔYAB 的正、负,判别A、B象限角RAB所属的象限。根据图5-5-1或表5-1-1。
(5)根据A、B象限角值│RAB│、RAB所属的象限、以及该象限RAB与αAB的关系(借助表5-1-1或图5-5-1),计算A、B的方位角αAB 。
坐标方位角的连续推算
实际测量中,图5-5-1中A、B的方位角αAB不是实际测量的,而是通过观测水平角推算的,见图5-5-3。
图5-5-3 坐标方位角的连续推算
左、右角问题
图5-5-3中,βB、β1、β2、β3、…、βi-1、βi、以及γB、γ1、γ2、γ3、…、γi-1、γi均为实际测量观测获得的水平角(测量上称之为转折角或折角)。若坐标方位角的连续推算路线依次为A、B、1、2、3、…、i-1、i、i+1、…,很显然,βB、β1、β2、β3、…、βi-1、βi均位于推算路线的左侧(测量上称之为左角,用βi表示);γB、γ1、γ2、γ3、…、γi-1、γi均位于推算路线的右侧(测量上称之为右角,用γi表示)。测量领域在各类测量坐标计算中习惯用左角(因此,本书介绍的各类坐标计算方法也均采用左角)。同一点的左、右转折角的和等于360°,即:
βi +γi =360° (5-2-3)
坐标方位角的连续推算公式
坐标方位角的连续推算公式有2个,一个是根据左角推算方位角的公式(称左角公式);一个是根据右角推算方位角的公式(称右角公式),2个公式的计算结果完全相同。
(1)左角公式
参见图5-5-3。左角公式的形式是:
αi(i+1)=[(α(i-1)i+βi )±180°] (5-2-4)
式(5-2-4),当(α(i-1)i+βi )≥180°时“±”用“-”、反之用“+”,当[(α(i-1)i+βi )±180°] ≥360°时应再减360°。
(2)右角公式
同样参见图5-5-3。右角公式的形式是:
αi(i+1)=(α(i-1)i-γi )±180° (5-2-5)
式(5-2-5),当(α(i-1)i-γi )≥180°时“±”用“-”、反之用“+”。
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